Kvante-gates og -kredsløb

Kvante-gates og -kredsløb er en naturlig udvidelse af klassiske gates og kredsløb. De er desuden en anden måde at betragte matematikken bag overførslen af qubits fra Alice til Bob. Jeg skrev i den forrige Blog, at valg af en retning ved måling af en qubit svarede til valg af en ortogonal matrix svarende til en ordnet ortonormal basis. Jeg vil i denne Blog anvende en fast ordnet ortonormal basis og lade den ortogonale matrix svarer til en reversibel gate, som qubits passerer før målingen. Jeg vil starte med at introducere nogle nye betegnelser.

Qubits

Vi vil kun anvende én ordnet basis til både at afsende og modtage qubits. Det er naturligt at vælge standard basen ([1,0]’,[0,1]’). Tegnet “‘” betyder transponering. Vi tildeler den første søjlevektor den målte bitværdi 0 og den anden vektor den målte bitværdi 1. Det er derfor naturligt at lade |0> betyde [1,0]’ og |1> betyde [0,1]’. En qubit har derfor formen a0|0>+a1|1>, hvor a0²+a1²=1. Kvantetilstanden springer til |0> med sandsynligheden a0² eller til |1> med sandsynligheden a1².

Et kvantesystem bestående af n qubits består af 2n tensorprodukter. Den ordnede basis for et kvantesystem bestående af 2 qubits er
(|0>⊗|0>,|0>⊗|1>,|1>⊗|0>,|1>⊗|1>).
Man fjerner ofte symbolet ⊗, da et tensorprodukt er underforstået i denne sammenhæng: (|0>|0>,|0>|1>,|1>|0>,|1>|1>).
Man indfører desuden den konvention, at |ab> betyder |a>|b>.
Den ordnede basis for et kvantesystem bestående af 2 qubits får derfor denne korte form: (|00>,|01>,|10>,|11>).

The CNOT Gate

Det klassiske CNOT Gate har 2 input-bit og 2 output-bit og defineret som:
CNOT(x,y) = (x,x+y), hvor ⊕ betyder + modulus 2. Or given as a table:
CNOT: [0,0,1,1]’,[0,1,0,1]’ ⇒ [0,0,1,1]’,[0,1,1,0]’
Vi udvider denne tabel til at gælde for qubits på den naturlige måde – ved at erstatte 0 med |0> og 1 med |1>. Tabellen er derfor givet ved:
CNOT: [|0>,|0>,|1>,|1>]’,[|0>,|1>,|0>,|1>]’ ⇒
[|0>,|0>,|1>,|1>]’,[|0>,|1>,|1>,|0>]’
Dette kan skrives mere kortfattet ved anvendelse af den kompakte notation for tensorprodukter:
CNOT: [|00>,|01>,|10>,|11>]’ ⇒ [|00>,|01>,|11>,|10>]’
Tebellen fortæller os, hvad der sker med basisvektorer.

 

ESA to intercept a comet

Comet Interceptor

19 June 2019 ‘Comet Interceptor’ has been selected as ESA’s new fast-class mission in its Cosmic Vision Programme. Comprising three spacecraft, it will be the first to visit a truly pristine comet or other interstellar object that is only just starting its journey into the inner Solar System.

The mission will travel to an as-yet undiscovered comet, making a flyby of the chosen target when it is on the approach to Earth’s orbit. Its three spacecraft will perform simultaneous observations from multiple points around the comet, creating a 3D profile of a ‘dynamically new’ object that contains unprocessed material surviving from the dawn of the Solar System.

“Pristine or dynamically new comets are entirely uncharted and make compelling targets for close-range spacecraft exploration to better understand the diversity and evolution of comets,” says Günther Hasinger, ESA’s Director of Science.

“The huge scientific achievements of Giotto and Rosetta – our legacy missions to comets – are unrivalled, but now it is time to build upon their successes and visit a pristine comet, or be ready for the next ‘Oumuamua-like interstellar object.”

MISSION

Comet Interceptor will be a new type of mission, launched before its primary target has been found.

The only way to encounter dynamically new comets or interstellar objects is to discover them inbound with enough warning to direct a spacecraft to them. The time between their discovery, perihelion, and departure from the inner Solar System has until recently been very short, historically months to a year: far too little time to prepare and launch a spacecraft. This timescale is, however, lengthening rapidly, with recent advances allowing observational surveys to cover the sky more deeply, coherently, and rapidly, such as the current Pan-STARRS and ATLAS surveys, and the Large Synoptic Survey Telescope under construction in Chile, LSST (www.lsst.org).

Long Period Comets are now discovered much further away, considerably more than a year pre-perihelion; e.g. C/2017 K2 (Pan-STARRS) was discovered beyond Saturn’s orbit in 2017, and will pass perihelion in 2022. From 2023, LSST will conduct the most sensitive search for new comets ever, providing a true revolution in understanding their populations, and making this mission possible.

Comet Interceptor will be launched with the ESA ARIEL spacecraft in 2028, and delivered to the Sun-Earth Lagrange Point L2. It will be a multi-element spacecraft comprising a primary platform which also acts as the communications hub, and sub-spacecraft, allowing multi-point observations around the target. All spacecraft will be solar powered. The spacecraft will remain connected to each other at L2, where they will reside until directed to their target. The mission cruise phase will last months to years.

Before the encounter, the spacecraft will separate into its separate elements, probably a few weeks pre-flyby. For very active comets, separation will be earlier, to maximize separation of the spacecraft elements, whilst for low activity targets, separation will occur only a few days before the encounter takes place.

SCIENCE

The mission’s primary science goal is to characterise, for the first time, a dynamically-new comet or interstellar object, including its surface composition, shape, and structure, the composition of its gas coma. A unique, multi-point ‘snapshot’ measurement of the comet- solar wind interaction region is to be obtained, complementing single spacecraft observations made at other comets.

Additional science will include multi-point studies of the solar wind pre- and post-encounter over gradually-changing separation distances.

The proposed instruments for the main and an accompanying spacecraft are the following:
Spacecraft A: (ESA)

  • CoCa: Comet Camera – to obtain high resolution images of the comet’s nucleus at several wavelengths.
  • MIRMISMultispectral InfraRed Molecular and Ices Sensor – to measure the heat radiation being released from the comet’s nucleus and study the molecular composition of the gas coma.
  • DFP : Dust, Field, and Plasma – to understand the charged gases, energetic neutral atoms, magnetic fields, and dust surrounding the comet.

Spacecraft B1: (JAXA)

  • HI: Hydrogen Imager – UV camera devoted to studying the cloud of hydrogen gas surrounding the target
  • PS: Plasma Suite – to study the charged gases and magnetic field around the target
  • WAC: Wide Angle Camera – to take images of the nucleus around closest approach from an unique viewpoint

Spacecraft B2: (ESA)

  • OPIC: Optical Imager for Comets – mapping of the nucleus and its dust jets at different visible and infrared wavelengths.
  • MANIaC: Mass Analyzer for Neutrals and Ions at Comets – a mass spectrometer to sample the gases released from the comet.
  • EnVisSEntire Visible Sky coma mapper  – to map the entire sky within the comet’s head and near-tail, to reveal changing structures within the dust, neutral gas, and ionized gases.
  • DFP : Dust, Field, and Plasma (near-match of DFP sensors on spacecraft A) – to understand the charged gases, energetic neutral atoms, magnetic fields, and dust surrounding the comet.

Logik, gates og kredsløb

George Boole indså i slutningen af det 19. århundrede, at visse dele af logikken kan udstrykkes som algebra ved anvendelse af funltioner eller operatorer, som virker på de to værdier: sand (T) og falsk (F). De tre grundlæggende operatorer er ¬ (NOT), ∧ (AND) og ∨ (OR). De boolske operatorer defineres ved sandhedstabeller:

P:(T,F) ⇒ ¬P:(F,T)
P:(T,T,F,F),Q(T,F,T,F) ⇒ P∧Q:(T,F,F,F,F)
P:(T,T,F,F),Q(T,F,T,F) ⇒ P∨Q:(T,T,T,F)
P:(T,T,F,F),Q(T,F,T,F) ⇒ P⊕Q:(F,T,T,F), ⊕ er exclusive or.
P:(T,T,F,F),Q(T,F,T,F) ⇒ ¬P:(F,F,T,T),¬Q:(F,T,F,T) ⇒ ¬P∧¬Q:(F,F,F,T)
Sandhedstabellen for negationen af (¬P∧¬Q) er:
P:(T,T,F,F),Q(T,F,T,F) ⇒ ¬(¬P∧¬Q):(T,T,T,F)
P∨Q ≡ ¬(¬P∧¬Q), ≡ betyder logisk ækvivalent med.
På tilsvarende måde finder vi:
P⊕Q ≡ (P∧¬Q)∨(¬P∧Q)
Ved anvendelse af udtrykket for OR findes:
P⊕Q ≡ ¬(¬(P∧¬Q)∧(¬(¬P∧Q)))
Både ∨ og ⊕ kan erstattes med ¬ og ∧. Denne metode virker helt generelt for andre udtryk.

Boolske funktioner

De logiske operatorer kan opfattes som boolske funktioner. En funktion af 3 variable P, Q og R, f(P,Q,R) defineres ved en sandhedstabel med 2³ = 8 værdier:
P:(T,T,T,T,F,F,F,F),Q:(T,T,F,F,T,T,F,F),R:(T,F,T,F,T,F,T,F) ⇒ f(P,Q,R):(…)
For enhver funktion f(P,Q,R) findes et ækvivalent udtryk, som kun indeholder funktionerne ¬ og ∧. Man anvender nøjagtigt den samme metode, som jeg brugte til at finde et udtryk for P∨Q. Metoden virker helt generelt. f er logisk ækvivalent med et udtryk, som kun involverer funktionerne ¬ og ∧, hvis f er en funktion defineret ved en sandhedstabel. Man siger derfor, at {¬,∧} er et funktionelt komplet sæt af boolske operatorer. Det forekommer overraskende, at vi kan frembringe enhver funktion defineret ved en sandhedstabel ved kun at anvende ¬ og ∧, men vi kan gøre det endnu bedre. En vilkårlig boolsk funktion er logisk ækvivalent med et udtryk, som kun anvender NAND operatoren.

NAND

NAND er en kombination af not og and. Den angives med tegnet ↑ og defineres som:
P↑Q ≡ ¬(P∧Q)
Sandhedstabellen for det specielle tilfælde ¬(P∧P):
P:(T,F) ⇒ P∧P:(T,F) ⇒ ¬(P∧P):(F,T). Dette er sandhedstabellen for ¬P:
¬(P∧P) ≡ ¬P ≡ P↑P
Jeg benytter mig af, at NOT er reversibel: ¬¬P ≡ P:
P∧Q ≡ ¬(¬(P∧Q)) ≡ ¬(P↑Q) ≡ (P↑Q)↑(P↑Q)

Jeg har nu vist, at både ∧ og ¬ har ækvivalente udtryk, som kun indeholder den boolske operator ↑. Jeg har vist, at NAND er funktionelt komplet: En vilkårlig boolsk operator kan omskrives til en ækvivalent funktion, som kun anvender NAND.

Boolske variable antager én af to værdier. Man anvender traditionelt værdierne T og F, men man kan også anvende 0 og 1. Boolske udtryk kan herved opfattes som funktioner af bitværdier.

Der er to mulige valg for udskiftning af T og F. Man vælger konventionelt at udskifte F med 0 og T med 1. Man lister konventionelt T før F, hvorimod 0 listes før 1. Dette betyder, at sandhedstabeller udtrykt ved 0 og 1 har en omvendt rækkefølge sammenlignet med den samme tabel for T og F:
P:(T,T,F,F),Q:(T,F,T,F) ⇒ P∧Q:(T,T,T,F)
P:(0,0,1,1),Q:(0,1,0,1) ⇒ P∧Q:(0,1,1,1)

Gates

Claude Shannon viste (som student på MIT), at al boolsk algebra kan udføres ved anvendelse af elektriske kontakter. Dette er en af de fundamentale idéer bag kredsløbsdesign i alle moderne computere.

En elektrisk impuls sendes (T eller 1) eller ej (F eller 0) med diskrete tidsintervaller. Kombinationen af kontakter, som svarer til de omtalte binære operatorer, kaldes gates. De mest almindelige gates er blevet teldelt nogle specielle diagrammer. NOT Gate har 1 input-ledning og 1 output-ledning. AND Gate har 2 input-ledninger og 1 output-ledning. OR Gate har ligeledes 2 input-ledninger og 1 output-ledning. Det samme gælder for NAND Gate.

Kredsløb

Vi kan frembringe kredsløb ved at forbinde de omtalte gates. De er lineære og læses fra venstre til højre. Vi skriver input-bit til ledningerne på venstre side og læser output-bit fra ledningerne på højre side. Et interessant eksempel er P↑P. Vi ønsker at skrive den samme bitværdi, P, til begge input-ledninger for et NAND gate. Dette opnås ved at splitte signalet til to ledninger. Processen med at splitte et signal til flere kopier kaldes fan-out.

NAND er et universelt gate

Vi kan konstruere et kredsløb, som beregner en vilkårlig boolsk funktion ved blot at anvende NOT og AND gates. Man anvender traditionelt betegnelsen universelt om et gate. NAND er et universelt gate. Vi må imidlertid anvende fan-out for at slippe af med NOT og AND til fordel for det universelle NAND. Det kunne forekomme indlysende, at man blot kan kopiere et signal ved at føre det til flere ledninger; men det viser sig, at vi ikke kan anvende dette trick på en qubit.

Gates og beregninger

The exclusive or med den binære operator ⊕ er defineret ved:
0⊕0 = 0, 0⊕1 = 1, 1⊕0 = 1, 1⊕1 = 0.
Dette kan sammenlignes med addition af lige og ulige hele tal. Denne addition kaldes addition modulo 2. XOR gate svarer til operatoren⊕. XOR kan anvendes til at konstruere et half-adder kredsløb, som adderer to binære cifre. Det konstrueres ved anvendelse af et XOR gate og et AND gate. XOR beregner cifferdelen og AND beregner menten. Dette kredsløb anvender fan-out.

Reversible beregninger

Studiet af reversible gates og reversible beregninger startede med beregningers termodynamik. Shannon definerede information som negativ entropi. Shannon fik idéen fra den termodynamiske entropi. Hvor tæt er disse to entropier beslægtede? Kan teorien bag beregninger udtrykkes ved anvendelse af begreber fra termodynamik? Kan man finde et minimum for den energi, som kræves for at udføre en beregning? John von Neumann gættede sig til, at der udvikles varme ved tab af information. Rolf Landauer udledte den minimale energi, som kræves for at slette en bit af information. Denne energi kaldes Landauers grænse.

Der tabes ingen information, hvis beregningen er reversibel, og den kan udføres uden varmeudvikling.  Jeg vil i det følgende gennemgå 3 reversible gates: CNOT, Toffoli og Fredkin.

Controlled Not Gate

CNOT har 2 input og leverer 2 output. Det første input er en kontrol-bit. Det andet input-bit forlader CNOT uændret, hvis det første input-bit er 0. CNOT virker som NOT på det andet input-bit, hvis det første input-bit er 1:
CNOT(x,y) = (x,x⊕y)
Denne operation er reversibel. Vi kan konstruere et kredsløb, som udfører denne operation ved anvendelse af fan-out og et XOR gate. CNOT har den nyttige egenskab, at den er sin egen inverse funktion:
CNOT(x,x⊕y) = (x,x⊕x⊕y) = (x,y), hvor jeg anvender x⊕x = 0 og 0⊕y = y.
Man kan vise, at CNOT er et universelt gate: Alle boolske funktioner kan udføres med CNOT.

The Toffoli Gate

The Toffoli gate, opfundet af Tommaso Toffoli, har 3 input og 3 output. De første 2 input er kontrol-bit. Dette gate virker som NOT på det tredje input, hvis de 2 første input begge er 1. Dette gate er givet ved funktionen:
T(x,y,z) = (x,y,(x∧y)⊕z)
Dette gate er også sin egen inverse funktion:
T(x,y,(x∧y)⊕z) = T(x,y,(x∧y)⊕(x∧y)⊕z) = (x,y,z),
da (x∧y)⊕(x∧y) = 0 og 0⊕z = z.
Man kan vise, at Toffoli er et universelt gate.

The Fredkin Gate

Fredkin har som Toffoli 3 input-ledninger og 3 output-ledninger. Den første er en kontrol-ledning. Hvis den modtager et 0, føres de næste 2 ledninger direkte igennem til output. Hvis den derimod modtager et 1, vil de næste 2 ledninger bytte plads mellem input og output. Kontrol-ledningen føres lige igennem til output. Fredkin opfører sig som et sporskifte på en jernbane. Hvis man sender output fra dette gate direkte ind i det samme gate vil output blive det samme som input til det første gate. Fredkin er altså sin egen inverse funktion defineret ved:
F(0,y,z) = (0,y,z), F(1,y,z) = (1,z,y)
Denne definition er usædvanlig ved ikke at anvende de sædvanlige boolske operatorer.

Output fra dette gate er 3 binære tal. Det første er altid lig det binære input x. Det andet tal bliver 1, hvis enten x = 0 og y = 1 eller  x = 1 og z = 1, hvilket udtrykkes som (¬x∧y)∨(x∧z). Det tredje tal bliver 1, hvis enten x = 0 og z = 1 eller x = 1 og y = 1, hvilket udtrykkes som (¬x∧z)∨(x∧y). Fredkin kan derfor defineres ved den boolske funktion:
F(x,y,z) = (x,(¬x∧y)∨(x∧z),(¬x∧z)∨(x∧y)).

Man kan endvidere vise, at Fredkin er et universelt gate, så alle boolske operationer kan udføres ved anvendelse af dette reversible gate.

Man kan altså konstruere et reversibelt gate ved anvendelse a de boolske operatorer ¬, ∧ og ∨. Det kom som en overraskelse for mig, at alle klassiske beregninger kan udføres reversibelt, hvis man anvender CNOT eller Fredkin gates.

 

Compact spherical tokamak

Towards a compact spherical tokamak fusion pilot plant

A. E. Costley
Published:

The question of size of a tokamak fusion reactor is central to current fusion research especially with the large device, ITER, under construction and even larger DEMO reactors under initial engineering design. In this paper, the question of size is addressed initially from a physics perspective. It is shown that in addition to size, field and plasma shape are important too, and shape can be a significant factor. For a spherical tokamak (ST), the elongated shape leads to significant reductions in major radius and/or field for comparable fusion performance. Further, it is shown that when the density limit is taken into account, the relationship between fusion power and fusion gain is almost independent of size, implying that relatively small, high performance reactors should be possible. In order to realize a small, high performance fusion module based on the ST, feasible solutions to several key technical challenges must be developed. These are identified and possible design solutions outlined. The results of the physics, technical and engineering studies are integrated using the Tokamak Energy system code, and the results of a scoping study are reviewed. The results indicate that a relatively small ST using high temperature superconductor magnets should be feasible and may provide an alternative, possibly faster, ‘small modular’ route to fusion power.

This article is part of a discussion meeting issue ‘Fusion energy using tokamaks: can development be accelerated?’.

Introduction

Research with tokamaks has been ongoing for more than 50 years and for most of the time it has generally been considered that in order to generate net fusion power tokamak fusion reaktors will have to be large and powerful; major radius of ≥6 m, plasma volume ≥ 1000 m³, and operation with fusion power ≥1 GW, typically being considered necessary. The large scale ITER device currently under construction in France is the latest device in this line of approach, and designs of even larger and more powerful demonstration (DEMO) reactors are underway.

Recent work, however, has shown that an approach based on much smaller and lower power devices may be possible. The approach is based on a re-evaluation of the empirical scaling of energy confinement time with machine parameters such as size and field, and the adoption of a relatively new technology, high temperature superconductors (HTSs) for magnets. The shape of the plasma is important too. The work indicates that much smaller devices based on the spherical tokamak (ST) configuration, perhaps with a major radius of 1.5-2.0 m, volume of 50-100 m, volume of 50-100 m³ and operating at relatively low power levels, 100-200 MW, may be feasible. Smaller devices would open the possibility of a modular approach to fusion power; that is one where single or multiple relatively small, low power devices would be used together to achieve the required power. Smaller and less expensive fusion modules would enable faster development cycles and thereby speed up the realization of fusion power.

Fig1: Schematic of conventional and spherical tokamaks. The aspect ratio A=R0/a and the elongation κ=b/a.

Spherical tokamaks have a much smaller ratio of plasma major radius (R0) to plasma minor radius (a) than conventional tokamaks such as JET and ITER; they resemble the shape of a cored apple rather than the more conventional tokamak shape of a doughnut (figure 1). Research has shown that STs have beneficial properties from a reactor standpoint such as operation at high plasma pressure relative to the pressure of the confining magnetic field, and the generation of higher levels of self-driven current within the plasma. This aspect is especially important. Auxiliary current drive systems are inefficient and thus can lead to substantial amounts of re-circulating power, and that power could be a major drain on the potential economics of a fusion reactor. There are also indications that STs have higher levels of energy confinement relative to conventional shaped tokamaks. STs share many of the challenges experienced in the development of the larger devices, for example the handling of the plasma exhaust in the divertor region where the power loads will be at the limit of available materials, and the installation of shielding on the inboard side necessary to protect the central column from the intense neutron and gamma radiation. The technical solutions being developed for the larger devices can be adapted and used on STs. The positive performance characteristics combined with potential solutions to the technical problems make STs particularly attractive for the compact approach.

In this paper, the work that is ongoing to realize this alternative approach to fusion power is reviewed. First, the question of size is addressed in general terms from a physics perspective. It is shown that it is not just size that is important; magnetic field and shape are important too, and the interplay between these parameters is developed. The question of fusion power is also important since that determines loads on the internal tokamak components and will limit the minimum possible device size. As shown in previous papers, the two key reactor performance parameters, i.e. the fusion gain, which is the power produced divided by the input power, and the fusion power are found to be directly linked. Using the latest empirical scalings for the energy confinement time, it is shown that the power needed for a useful fusion gain is three to four times lower that previously thought necessary. Taken together these findings indicate that smaller fusion devices based on the spherical tokamak should be feasible.

The realization of a relatively small, low power fusion module will depend on satisfactory solutions being developed to several key technical challenges such as the superconducting magnets that provide the plasma confining magnetic field, the inner shield that protects the central column from neutron and gamma radiation that potentially could cause material damage, and the divertor that handles the plasma exhaust.

The fusion triple product

The most important figure of merit of a fusion plasma is the product of the density (n), temperature (T) and energy confinement time (τE), nTτE. This is known as the fusion triple product and is derived from the work of John Lawson in 1957. For net fusion power, nTτE must be greater than 1×1021 m-3keVs. The progress towards fusion can be measured with nTτE.

Fig2: Improvement of the fusion tripel product (relative units) with time.

Figure 2 shows how the triple product has increased with time as larger tokamaks operating at higher magnetic field and higher plasma current were brought into operation. As can be seen, the rate of progress was very rapid from the late 1960s through to about 2000 but has slowed since, partly because of delay with ITER. Insight into key aspects of achieving net fusion power with tokamaks can be gained by looking closer at the fusion triple product.

The density and temperature are straightforward parameters but the energy confinement time is complicated. The energy confinement time characterizes the rate at which heat is transported from the hot central core of the plasma to the relatively cold surrounding material surfaces.  Within a tokamak plasma there are multiple, interacting phenomena occurring simultaneously on a wide range of temporal and spatial scales. These interactions lead to the transport of heat through processes that are essentially turbulent. While graet progress has been made in understanding these processes it is not yet possible to determine the transport of heat through the plasma by a first principles approach. This is not an unfamiliar situation. In many areas of physics and engineering situations are too complex for a ‘first principle’ approach. In such situations, it is common to perform experiments on devices or structures of different scale and to determine how the parameter  of interest scales with device parameters.

 

John Stewart Bells ulighed

Der herskede en filosofisk strid mellem Albert Einstein og Niels Bohr om den rette fortolkning af den kvantemekaniske måling. Bohr postulerer, at der til enhver måling af en qubit svarer en basis bestående af to ortogonale enhedsvektorer (qubits). Selve målingen medfører et kvantespring af den målte qubit til én af de to ortogonale enhedsvektorer. Den første enhedsvektor svarer til den klassiske bit-0, den anden til den klassiske bit-1. Einstein gik ind for lokal realisme, som antager, at en partikels tilstand kun kan afhænge af andre lokale partiklers tilstande. Einstein hævdede, at kvantespringet afhænger af nogle ukendte skjulte variable.

Striden startede omkring 1925 og varede mange år frem. Schrödinger fandt på et genialt tankeeksperiment til støtte for Einsteins synspunkt. Han foreslog, at to personer, Alice og Bob, skulle foretage fælles målinger med de samme basisvektorer af en blandingstilstand af to qubits:
T = (|a0>⊗|b0> + |a1>⊗|b1>)/√2

Der er et par mærkværdigheder: Hvorfor anvendes der to forskellige betegnelser for den samme basis: (|a0>,|a1>) og (|b0>,|b1>)? Hvad er det for et mærkeligt gangetegn: ⊗? De to ting hænger sammen. ⊗ angiver en speciel multiplikation, som ikke tillader en ombytning af de to sider. Dette tillader os at tildele den venstre side til Alice og den højre til Bob. Dette er grunden til, at de to baser får tildelt forskellige navne.

Når Alice og Bob måler tilstanden T, får de enten begge bitkombinationen 00 eller begge bitkombinationen 11. Deres fælles målinger er totalt sammenfiltrede. Korrelationen mellem deres målinger er 100%.

Der er intet krav til afstanden mellem Alice og Bob. Alice kan være nær Jorden og Bob nær Alpha Cen. Hvordan kan Einsteins krav om lokal realisme være overholdt? Alices måling medfører, at Bobs måling straks er kendt. Einsteins specielle relativitetsteori kræver, at ingen information kan bevæge sig hurtigere end lyset. Men Alice og Bob har ingen mulighed for at afgøre, hvem der måler først. Teorien forudsiger kun, at de to parters målinger er korrelerede. Den forudsiger ikke årsag og virkning mellem de to parters målinger. Der er ikke tale om udveksling af information. De to qubits har derimod vekselvirket, da de befandt sig på næsten samme sted til samme tid. De postulerede skjulte variable har haft mulighed for at fungere under denne korte vekselvirkning.  Sagen er langt fra afklaret med Schrödingers tankeeksperiment.

Bells ulig er baseret på 3 tilfældige målinger af et sammenfiltrede qubitpar med 3 ortonormales baser med retningsvinklerne:
θ = (0°, 120°, -120°) = (0, 2π/3, -2π/3) = (a, b, c).
En ordnet ortonormal basis svarente til retningsvinklen θ er givet ved:
([cos(θ/2), -sin(θ/2)]’, [sin(θ/2), cos(θ/2)]’).
De 3 (a, b, c) er altså givet ved:
a = ([1,0]’,[0,1]’)
b = ([cos(π/3),-sin(π/3)]’,[sin(π/3),cos(π/3)]’) = ([1,-√3]’/2,[√3,1]’/2)
c = ([cos(π/3),sin(π/3)]’,[-sin(π/3),cos(π/3)]’) = ([1,√3]’/2,[-√3,1]’/2)

De 3 baser kan også angives ved ket-vektorer, hvis man husker, at den anden vektor i et basispar peger i modsat retning af den første vektor:
a = (|0>,|π>)
b = (|π/3>,|-π/6>)
c = (|-π/3>,|π/6>)

En måling i hver af retningerne (a, b, c) resulterer i enten et 0 eller et 1. Dette giver os 8 konfigurationer: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, hvor første ciffer til venstre giver os svaret, hvis vi måler med basen a, det midterste ciffer giver os svaret, hvis vi måler med basen b, og det sidste ciffer giver sos svaret, hvis vi måler med basen c.

Vi frembringer nu en strøm af qubit-par, som vi sender sender til Alice og Bob. Hvert par befinder sig i en entangled tilstand for basis a:
T = (|0>|0> + |π>||π>)/2
Sandsynligheden for et spring mellem 2 qubits er givet ved skalarproduktet mellem de to qubits. Det har derfor betydning at finde alle skalarprodukter mellem vektorer i a og alle vektorer i b og c (overgange mellem vektorer internt i a er undersøgt):
<0|π/3> = [1,0][1,-√3]’/2 = 1/2
<0|-π/6> = [1,0][√3,1]’/2 = √3/2
<0|-π/3> = [1,0][1,√3]’/2 = 1/2
<0|π/6> = [1,0][-√3,1]’/2 = -√3/2
<π|π/3> = [0,1][1,-√3]’/2 = -√3/2
<π|-π/6> = [0,1][√3,1]’/2 = 1/2
<π|-π/3> = [0,1][1,√3]’/2 = √3/2
<π|π/6> = [0,1][-√3,1]’/2 = 1/2

Alice vælger tilfældigt en af de 3 retninger (a,b,c) med sandsynligheden 1/3 uden at nedskrive retningen, men hun nedskriver 0 eller 1 alt efter, om springet sker til den første eller den anden vektor i den valgte basis. Bob udfører kort tid efter den samme procedure, idet han også nedskriver enten 0 eller 1. Alice og Bob nedskriver en lang liste med 0er og 1er. De sammenligner den lange liste af bits. De nedskriver bogstavet A, hvis de er enige om de to bits, ellers nedskrives bogstavet D. Hvor stor en brøkdel af bogstaverne udgøres af A? Bell indså, at den kvantemekaniske model og den klassiske model gav forskellige tal for dette svar.

Det kvantemekaniske svar

Jeg har tidligere fundet, at Alice og Bob får det samme resultat, hvis de begge foretager målingen i samme retning. Hvad sker der, hvis de vælger forskellige baser? Jeg vil undersøge tilfældet, hvor Alice vælger b og Bob vælger c. Begge parter modtager tilstanden
(|0>|0>+|π>|π>)/2, som måles af Alice i basen (|π/3>|π/3>+|-pi;/6>|-π/6>)/2. En måling får den oprindelige tilstand til springe til enten |π/3>|π/3> eller |-pi;/6>|-π/6> med lige stor sandsynlighed. Hun vil nedskrive 0, hvis den springer til |π/3>|π/3>. Hun nedskriver 1, hvis den springer til |-pi;/6>|-π/6>.

Bob må nu udføre sin måling. Antag, at Alice målte tilstanden |π/3>|π/3>, så Bobs qubit (den anden i produktet) er i tilstanden |π/3>, der kan udtrykkes som en linearkombination af Bobs basisvektorer (|-π/3>,|π/6>). Vi finder faktorerne ved at gange |π/3> med en matrix udtrykt som en søjle af Bobs basis udtrykt som bra-vektorer:
M|π/3> = [<-π/3|,<π/6|]’|π/3> = [<-π/3|π/3>,<π/6|π/3>]’ =
[[1, √3][1, -√3]’/4, [-√3, 1][1, -√3]’/4] = [-1/2, -√3/2]’.

Bob vil måle 0 med sandsynligheden (-1/2)² = 1/4 og 1 med sandsynligheden (-√3/2)² = 3/4. Hvis Alice måler 0, vil Bob også måle 0 med sandsynligheden 1/4. Man kan på tilsvarende måde vise, at Bob også vil måle 1 med sandsynligheden 1/4, hvis Alice først har målt 1.

De andre tilfælde er tilsvarende: Hvis Alice og Bob måler i forskellige retninger, vil de få samme resultat i 1/4 af tilfældene og forskellige resultater i 3/4 af tilfældene.

De måler i samme retning 1/3 af tilfældene og de måler det samme hver gang. De måler i forskellige retninger i 2/3 af tilfældene og og får det samme resultat i 1/4 af tilfældene. Den samlede sandsynlighed for at få A:
(1/3)×1 + (2/3)×(1/4) = 1/2.

Det klassiske svar

Striden mellem Einstein og Bohr omhandlede i virkeligheden elektronens bølgenatur. Elektronens spin kom først til senere. Luis de Broglie havde i 1924 foreslået, at elektroner udbreder sig som bølger. Dette blev eksperimentelt påvist i 1927. Elektronen bevæger sig langs flere baner mellem punkterne P og Q. Sandsynlighedsamplituderne for de mange baner interfererer i Q. Kvadratet på den samlede amplitude er sandsynligheden for at finde elektronen i Q. Einstein mente, at elektronens mange baner måtte skyldes nogle ukendte variable. Bohr mente, at naturen kun tillader os at forudsige en sandsynlighedsamplitude. De fleste mente, at det var en filosofisk strid, som ikke kunne afgøres ved noget eksperiment.

Den filosofiske strid flyttede sig med årene fra elektronens bane til dens spin. Både kvantemekanisk teori og målinger viser, at elektronens spin kun kan måles for én bestemt retning, samt at der kun findes 2 lige sandsynlige spintilstande. Disse 2 spintilstande er grundlaget for de klassiske bit, der fremkommer ved måling af en kvantebit eller qubit. Spørgsmålet om den mulige eksistens af skjulte variable har betydning for, om man overhovedet kan konstruere en kvantecomputer.

Den irske fysiker John Stewart Bell var overbevist om, at Einsteins argumenter var korrekte. Han offentliggjorte i 1964 en ulighed baseret på en kombination af de veldokumenterede lige store spinsandsynligheder og klassisk statistik. De kvantemekaniske beregninger fra forrige afsnit opfylder ikke Bells ulighed. Man kan alligevel afgøre et filosofisk spørgsmål ved et eksperiment.

Det klassiske synspunkt er, at målinger i alle retninger er bestemt helt fra begyndelsen. Der er som allerede nævnt 3 retninger. En måling i hver retning kan give enten et 0 eller et 1. Dette giver os 8 konfigurationer:000, 001, 010, 011,100, 101, 110, 111, hvor det første ciffer er svaret, hvis vi måler med basis a, det midterste ciffer er svaret, hvis vi måler med basis b, og det sidste ciffer er svaret, hvis vi måler med basis c.

Entanglement betyder blot, at konfigurationerne for Alices og Bobs qubits er identiske — hvis Alices qubit har konfiguration 001, så har Bobs det også. Vi må nu finde ud af, hvad der sker, når Alice og Bob hver vælger en retning. For eksempel, hvis deres elektroner er i konfiguration 001, og Alice måler i basis a, og Bob måler i basis c, så vil Alice måle 0, og Bob vil måle 1. De er uenige om resultatet.

Tabellen nedenfor angiver alle mulighederne. Den venstre søjle angiver de 8 konfigurationer. Den øverste række giver mulighederne for Alice og Bobs målebaser.  Vi angiver Alices basis først efterfulgt af Bobs. (b,c) betyder, at Alice vælger basis b og Bob vælger basis c. Indgangene i tabellen viser, om målingerne stemmer A(gree) eller ej D(isagree).

Konfiguration versus måleretning

Vi ved ikke, hvilke sandsynligheder vi skal tildele de enkelte konfigurationer. Der er 8 mulige konfigurationer, så det forekommer plausibelt, at de hver forekommer med sandsynligheden 1/8, men de er muligvis ikke alle ens. Den matematiske analyse vil ikke antage bestemte værdier for disse sandsynligheder. Vi kan imidlertid tildele de målte retninger bestemte sandsynligheder. Både Bob og Alice vælger deres 3 baser med samme sandsynlighed, så hver af de 9 mulige basepar forekommer med sandsynligheden 1/9.

Bemærk: Hver række indeholder mindst 5 A’er, så et givet qubit-par med en hvilket som helst konfiguration har mindst sandsynligheden 5/9 for at få et A. Da sandsynligheden for at få et A er mindst 5/9 for hver af spin-konfigurationerne, kan vi udlede, at den overordnede sandsynlighed må være mindst 5/9, uafhængigt af den relative forekomst af de enkelte konfigurationer.

Dette er Bells ulighed. Kvantemekanikken fortæller os, at Alice og Bob er enige om resultatet nøjagtigt halvdelen af gangene. Den klassiske model fortæller os, at Alice og Bob vil være enige i mindst 5 ud af 9 gange.

Det er imidlertid en delikat sag at udføre testen i praksis. John Clauser og Stuart Freedman udførte den første gang i 1972. Den viste, at den kvantemekaniske forudsigelse er korrekt. Eksperimentet er siden blevet gentaget i stadig forbedrede versioner. Der er meget lidt tvivl om, at den klassiske model er forkert.

At en måling automatisk medfører et kvantespring fra en qubit til en anden, helt uden for den kvantemekaniske tidsudvikling, er ganske uforståelig. Kvantespringet forudsiges generelt i form af en complex sandsynlighedsamplitude, hvis normkvadrat er sandsynligheden for springet. Hvorfor forekommer springet kun, når man observerer kvantetilstanden? Universet udvikler sig jo fint, uden at jeg behøver at observere det. Min egen favoritfortolkning er, at kvantemekanik er en teori for udviklingen af informationen om et mikroskopisk system. En kvantetilstand repræsenterer ikke selve det fysiske system, men derimod vores maksimale information om systemet. En måling medfører en indsnævring af vores uvidenhed om systemet. Det er derfor logisk, at kvantetilstanden må ændres efter en måling, som har forøget informationen om systemet. En kvantecomputer er IT for et mikroskopisk system.

Entanglement af Qubits i Octave

Mine Blogs om anvendelsen af qubits til kvanteberegninger og målinger er baseret på en bog med titlen Quantum Computing for Everyone. Forfatteren opfatter begrebet Everyone, som en person med kendskab til anvendelsen af en lommeregner med de sædvanlige operatorer +, -, / og × på flydende tal, samt funktioner som sin, cos og sqrt. Men jeg må anvende transponering af en søjlevektor for at kunne angive den i en Blog. Det hele ville være meget simplere, hvis jeg kunne anvende programmet Octave til både at beregne den lineære algebras vektorer, matricer og tensorprodukter (knyttet til operatoren ⊗). Transponering angives med tegnet “‘”. Et tensorprodukt kaldes også et kroneckerprodukt opkaldt efter Leopold Kronecker (1823-1891). Den binære operator ⊕ er i Octave funktionen kron(v,w). Funktionen kron gør mere end at finde tensorproduktet vw af to vektorer i vektorrummet ℜ². Husk: To 2×2 matricer V og W i ℜ² er 2-dimensionale rækker af 2-dimensionale vektorer. Funktionen kron afbilder V⊗W fra ℜ²⊗ℜ² til en 4×4 matrix i ℜ4. Hvis V og W er ortogonale matricer, vil kron(V,W) også være en ortogonal matrix i ℜ4.

Jeg minder om, at den ordnede ortonormale basis for målingen af en qubit i retningen θ er givet ved:
B(θ) = ([cos(θ/2),-sin(θ/2)]’,[sin(θ/2),cos(θ/2)]’).
Det er således meget let at frembringe ortonormale baser for målinger i forskellige retninger. Den eneste forskel er, at vinkler skal angives i enheder af π i stedet for i “°”. Jeg tvivler på, at personer, som ønsker at forstå kvanteberegninger med qubits ikke kan finde ud af at bruge programmet Octave.

Jeg viste i forrige Blog, at Alice og Bob kan foretage fælles målinger af to bits for to forskellige qubits ved anvendelsen af tensorproduktet for deres to forskellige ordnede ortonormale baser: (a0>,|a1>) og (b0>,|b1>). Ethvert tensorprodukt af to vektorer |v> og |w> kan udtrykkes som en linearkombination af de 4 tensorprodukter:
(|a0>⊗|b0>, |a0>⊗|b1>, |a1>⊗|b0>, |a1>⊗|b1>). Et tensorprodukt kan generelt skrives som
T = r|a0>⊗|b0> + s|a0>⊗|b1> + t|a1>⊗|b0> + u|a1>⊗|b1>

Man siger, at der er entanglement mellem Alices målinger af (a0>,|a1>) og Bobs målinger af (b0>,|b1>), hvis der findes en korrelation mellem de målte bitværdier. Alice og Bob kan ikke alene ud fra de målte bitkorrelationer udlede en årsagssammenhæng. Entanglement kan gøres tydelig ved specielle valg af r, s, t og u. Jeg antager i det følgende: r=u og s=t=0:
T = (|a0>⊗|b0> + |a1>⊗|b1>)/√2.
Entanglement er særlig tydelig ved dette valg, idet begge parter måler bitkombinationerne 00 og 11 med lige stor sandsynlighed.

Jeg vil nu introducere den samtidige måling af 3 ordnede bits, som fremkommer ved ordnede målinger med 3 ortonormale baser, som hver er drejet med 1/3 omgang i lighed med en vekselstrømsmotor. De 3 ordnede ortonormale baser er derfor givet ved (i = 0,1,2):
B(i) = B(2πi/3) = ([cos(πi/3),-sin(πi/3)]’,[sin(πi/3),cos(πi/3)]’).
Jeg vil anvende disse 3 drejede baser i en kommende Blog.

B(0) = ([1,0]’,[0,1]’) er standardbasis for ℜ². Den ordnede standardbasis for ℜ²⊗ℜ² er givet ved: ([1,0]’⊗[1,0]’, [1,0]’⊗[0,1]’, [0,1]’⊗[1,0]’, [0,1]’⊗[0,1]’).
kron([1,0]’, [1,0]’)’ = [1,0,0,0].
kron([1,0]’, [0,1]’)’ = [0,1,0,0].
kron([0,1]’, [1,0]’)’ = [0,0,1,0].
kron([0,1]’, [0,1]’)’ = [0,0,0,1].
Dette er den ordnede basis for ℜ4 angivet som rækkevektorer. Jeg har fundet dem ved kald af kron i Octave.

Entanglement med CNOT gate

Den ordnede standardbasis for det 4-dimensionale rum ℜ4 er:
([1,0,0,0]’,[0,1,0,0]’,[0,0,1,0]’,[0,0,0,1]’)
CNOT fremkommer ved ombytning af de sidste to søjlevektorer
CNOT = [[1,0,0,0]’,[0,1,0,0]’,[0,0,0,1]’,[0,0,1,0]’]
Denne gate virker på et qubit-par. CNOT-matricen virker på 4-dimensionale vektorer, så tensorprodukter af qubits må omskrives ved anvendelse af kron. Vi starter med tensorproduktet [1,1]’⊗[1,0]’:
kron([1,1]’,[1,0]’)’ = [1,0,1,0] (jeg har udeladt norneringsfaktoren).
(CNOT*kron([1,1]’,[1,0]’))’ = [1,0,0,1].

Den sidste ligning svarer til den normerede vektor:
([1,0]’⊗[1,0]’ + [0,1]’⊗[0,1]’)/√2
Hvis Alice og Bob udfører målinger i standardbasen, vil de begge få [1,0]’ svarende til bit-0, eller de vil begge få [0,1]’ svarende til bit-1. De to tilfælde er lige sandsynlige.

 

Entanglement af to qubits

En qubit er en 2-dimensional enhedsvektor i et plan. Den illustreres ved en pil på et stykke ternet papir (eller på en computerskærm med pixels). Pilens retning og længde er bestemt af to reelle tal, hvorfor vektorrummet betegnes som ℜ². Enhver vektor kan skaleres med et reelt tal. Summen af de to vektorer v og w betegnes som v + w, hvor den binære operator + er kommutativ, dvs v+w=w+v. En ombytning af vektorerne har ingen betydning for resultatet. Findes en tilsvarende binær operator for multiplikation af de to vektorer? Ja, multiplikation af v med w kaldes vw; men den binære operator ⊗ er ikke kommutativ, så vwwv. Der findes en første (v) og anden (w) vektor i produktet vw.

Tensorproduktet af to vektorer

Tensorproduktet, defineret som T = vw, er en bilineær operator med følgende egenskaber:
(uv)T = (vu)
(v+w)⊗u = vu+wu
u⊗(v+w) = uv+uw
c(vu)=(cv)⊗u=v⊗(cu)

Dette er regnereglerne for den binære operator × for multiplikation af normale reelle tal, hvis man ser bort fra den første egenskab. Her gælder, at multiplikation er kommutativ, så u×v=v×u.

Enhedsvektorerne for ℜ² kaldes sædvanligvis e1 og e2. De to vektorer v og w kan derfor skrives som:
v = v1e1+v2e2
w = w1e1+w2e2

Beregningen af vw findes ved at anvende de sædvanlige regneregler for den binære operator ×:
(v1e1+v2e2)⊗(w1e1+w2e2)=(v1w1)e1e1+(v1w2)e1e2+(v2w1)e2e1+(v2w2)e2e2

Bemærk: v1w2 = v2w1, men e1e2e2e1. Dette betyder, at tensorproduktet kan skrives som en linearkombination af 4 forskellige basisvektorer. vw befinder sig altså i vektorrummet ℜ4. Jeg vender nu tilbage til Alice og Bob. Alice foretager målinger af en qubit med sin egen ordnede ortonormale basis (|a0>,|a1>). Bob foretager på samme måde målinger af en qubit med sin egen ordnede basis (|b0>,|b1>). Vi kan nu teldele Alice den første plads i et tensorprodukt, da dette ikke er kommutativt. Jeg viste ovenfor, at et tensorprodukt generelt kan skrives som en linearkombination af en ordnet ortonormal basis givet ved (|a0>⊗|b0>,|a0>⊗|b1>,|a1>⊗|b0>,|a1⊗|b1>). Denne ordnede ortonormale basis er fælles for Alice og Bob. Jeg vil herefter droppe ⊗ på samme måde, som man gør med × for reelle tal.
Ethvert tensorprodukt kan derfor udtrykkes som:
|v>|w> = r|a0>|b0> + s|a0>|b1> + t|a1>|b0> + u|a1|b1>

Alice og Bob udfører uafhængige målinger

Afsnittet om tensorproduktet for vektorrummet ℜ²⊗ℜ² viste, at dette er et 4-dimensionalt vektorrum med en ordnet ortonormal basis, som er fælles for Alice og Bob. Alice skriver i tilfældet af uafhængige målinger sin qubit som linearkombinationen |v>=v0|a0>+v1|a1>. Bob skriver på tilsvarende måde sin qubit som linearkombinationen |w>=w0|b0>+w1|b1>.
Tensorproduktet af de to qubits er derfor givet ved
|v>|w> = (v0|a0> + v1|a1>)⊗(w0|b0> + w1|b1>) =
(v0w0)a0>|b0> + (v0w1)|a0>|b1> + (v1w0)|a1>|b0> + (v1w1)|a1|b1> =
r|a0>|b0> + s|a0>|b1> + t|a1>|b0> + u|a1|b1>, hvorfor
r = v0w0, s = v0w1, t = v1w0, u = v1w1.

At en qubit er en enhedsvektor medfører: v0² + v1² = 1 og w0² + w1² = 1.
At |v>|w> er en enhedsvektor medfører: r² + s² + t² + u² = 1.

Sandsynligheden for at Alice måler i er Pa(i).
Sandsynligheden for at Bob måler i er Pb(i).
Sandsynligheden for at Alice og Bob måle ij er Pab(ij).

Der er 4 tilfælde:
(1) Pab(00) = r² = (v0w0)² = v0²w0² = Pa(0)Pb(0)
(2) Pab(01) = s² = (v0w1)² = v0²w1² = Pa(0)Pb(1)
(3) Pab(10) = t² = (v1w0)² = v1²w0² = Pa(1)Pb(0)
(4) Pab(11) = u² = (v1w1)² = v1²w1² = Pa(1)Pb(1)

Vi ved desuden, at summen af sandsynligheder skal være 1:
Pa(0) + Pa(1) = 1
Pb(0) + Pb(1) = 1
Pab(00) + Pab(01) + Pab(10) + Pab(11) = 1

Hvad er status efter denne formelgymnastik? Jeg har indført et tensorprodukt |v>|w>, som tillader at reservere den første position til Alice og den anden til Bob. Jeg har vist, at sandsynligheden for at måle et bitpar for et tilsvarende par qubits er lig med produktet af sandsynligheder for at måle de individuelle bits. Dette er et klar tegn på, at målingerne er uafhængige. Dette er absolut ikke overraskende, da jeg antog, at Alice og Bob foretog uafhængige målinger. Hvad er det nye? Jeg viste, at et tensorprodukt kan skrives som en linearkombination af fire ordnede, ortonormale basisvektorer med de tilhørende sandsynlighedsamplituder: r, s, t, u. Hvor er den sagnomspundne entanglement blevet af? Hvad er betydningen af entanglemet ud fra et fysisksynspunkt? Man må huske, at en kvantemekanisk måling er et kvantespring fra én qubit til en anden (normalt forskellig) qubit. Det er et envejsspring. Der er tiden før og tiden efter springet. Man kan spørge: Påvirker en måling udført af Alice udfaldet af en senere måling udført af Bob? Man siger, at to qubits er sammenfiltrede eller entangled, hvis målingen udført af Alice påvirker udfaldet af Bobs måling.

Det omtalte tensorprodukt kan altså skrives som:
|v>|w> = r|a0>|b0> + s|a0>|b1> + t|a1>|b0> + u|a1|b1>

For at Alice skal kunne foretage sine målinger først, må hendes basisvektorer (|a0>,|a1>) faktoriseres, så udtrykket bliver en linearkombination af to produkter. Dette gøres på følgende måde:
|v>|w> =
√(r²+s²)|a0>(r|b0> + s|b1>)/√(r²+s²) +
√(t²+u²)|a1>(t|b0> + u|b1>)/√(t²+u²)

Formlen er den samme som ovenfor, men faktoriseringen er ændret, så Alice først kan måle med sine basisvektorer (|a0>,|a1>), hvorefter Bob fortsætter med at måle to forskellige linearkombinationer af sine basisvektorer (|b0>,|b1>), som hver svarer til et forskelligt udfald af Alices målinger. Sandsynlighederne beregnes ud fra kvadraterne på koefficienterne til basisvektorerne. Jeg anvender ⇒ til at angive et tidsligt forløb:
Pa(0) = (r²+s²) ⇒ Pb(0) = r²/(r²+s²), Pb(1) = s²/(r²+s²)
Pa(1) = (t²+u²) ⇒ Pb(0) = t²/(t²+u²), Pb(1) = u²/(t²+u²)

Det kan være vanskeligt at afgøre, om der er tale om entanglement. Dette ses lettest, hvis man vælger et eksempel, hvor u = 0. Man måler i dette tilfælde sandsynlighederne:
Pa(0) = (r²+s²) ⇒ Pb(0) = r²/(r²+s²), Pb(1) = s²/(r²+s²)
Pa(1) = t² ⇒ Pb(0) = 1, Pb(1) = 0

Hvis Alice måler bit-1, må Bob nødvendigvis måle bit-0 med 100% sikkerhed. Dette er entanglement i en nøddeskal. Jeg vil stoppe denne introduktion af entanglement for at fortsætte i en anden blog.

 

Leder om Ingeniørens holdning

Leder: Stop den lemfældige brug af vores persondata

Fredag, 7. juni 2019 – 5:11

Et opråb til landets kommende statsminister: Du er nødt til at steppe op på både den demokratiske håndhævelse af privacy og kontrollen af databrug i den fremtidige centraladministration.

På overfladen ligner Danmarks offentlige digitalisering ganske vist en stor succes. I FN’s seneste benchmark lå vi for første gang nummer 1 inden for offentlig digitalisering, vurderet blandt 193 medlemslande.

Men der er en skræmmende bagside af det internationale glansbillede: Vi går på kompromis med forvaltningsmæssige adelsmærker som åbenhed, gennemsigtighed og troværdighed.

Stærkt bekymrende er det, når Beskæftigelsesministeriet uden ordentlig demokratisk kontrol udvikler et dataprofileringsværktøj for at udpege de arbejdsløse, der er i størst risiko for langtidsledighed.

Ganske vist er det angiveligt et frivilligt værktøj, men det skal udbredes på landsplan, uden at ministeren fortæller om det ved en lovfremsættelse på området i Folketinget, uden at den omfattende dataprofilering af en udsat befolkningsgruppe har skabt debat i folketingssalen, og uden at offentligheden kan få indsigt i, hvordan algoritmen vægter data i den samlede vurdering.

Værst af alt overså Datatilsynet det vidtgående tiltag, og først nu efter vedtagelsen vil tilsynet undersøge, om det overhovedet er lovligt.

Problematisk er det, når staten i form af Center for Cybersikkerhed under Forsvarets Efterretningstjeneste (FE) kan tvangsovervåge organisationers netværkstrafik – uden at offentligheden kan få at vide hvem.

Tvangs­overvåget internet er måske et nødvendigt redskab i kampen mod cybercrime, men helt galt går det, når opgaven bliver lagt hos en af samfundets allermest lukkede
institutioner, der kun er omfattet af sparsom kontrol.

Så ligner det en type statsovervågning, vi ellers vånder os voldsomt ved, at Kina potentielt kan gennemføre mod os, fordi TDC benytter kinesisk telekommunikationsudstyr.

Og skræmmende er det, når forskere får adgang til helbreds- og biodata uden ordentlig statistik om omfanget, gennemsigtighed omkring formålet og synlighed omkring aktørerne. Forskerne har selvfølgelig tavshedspligt og må ikke videregive de oplysninger, de får udleveret. Og forskning i sundhedsdata kan redde liv.

På Version2 har en professor imidlertid påpeget, at adgangen til danskernes sundhedsdata er blandt den mest liberale i verden. Det duer ikke, når forældre til spædbørn ikke engang kan få et klart svar på, hvad barnets biodata skal bruges til af hvem og med hvilket formål, hvis man accepterer en blodprøvetagning af barnet til en biobank.

Totalt vilkårligt virker det, når vi i en log på sundhed.dk kan se, hvilke sundhedsansatte der ser på vores sundhedsdata – mens vi kigger ind i en black box, hvis vi vil vide, om vores data bruges til forskning, med hvilket formål og af hvem.

Helt galt går det, når Justitsministeriet – som vi har dækket flere gange – på tredje år stadig ser stort på, at ministeriets egen bekendtgørelse om logning af teledata strider direkte med EU-retten. Det betyder, at teleselskaberne – på et grundlag, der altså er ulovligt ifølge EU-Domstolen – stadig er forpligtede til at logge oplysninger om, hvem samtlige danskere ringer og sms’er til, og hvor de befinder sig henne.

Dybt følsomme data bliver ikke bare indsamlet, men også i alt for mange tilfælde lækket som følge af sjusk og manglende årvågenhed hos myndigheder i både stat, regioner og kommuner. Der er alt for ofte tale om databrud på et niveau, som fagfolk på området ikke er i tvivl om burde lede til GDPR-bøder.

Ulovligt har landets førende forskere på området også i Version2 stemplet Gladsaxe Kommunes anvendelse af data fra helt almindelige borgere til at udvikle en algoritme, som skal opspore familier med udsatte børn.

De mange eksempler på det offentliges stigende og ulovlige overvågning, gedulgte udvikling af algoritmer og misbrug af persondata vidner tilsammen om, at der er hårdt brug for at steppe op på gennemsigtigheden og den demokratiske kontrol med de mange tiltag og forsøg.

På samme måde, som vi f.eks. ser en nidkær kontrol med patientsikkerheden fra den relativt ny styrelse på området, er der behov for at øge beskyttelse af vores privacy og kontrollen med brug af persondata.

I dag er denne opgave spredt ud på flere for svage og ukoordinerede enheder, som åbenlyst ikke kan sikre, at dataudviklingen foregår på et solidt oplyst grundlag med uafhængige analyser, statistik, debat og kontrol – fuldstændig som den økonomiske politik er underlagt en omfattende faglig og demokratisk indsigt.

/hm

 

Kryptografi med strøm af Qubits

En Qubit er en 2-dimensional enhedsvektor i et plan. Den kan altid skrives som en linearkombination af et ordnet par af ortogonale enhedsvektorer: En Qubit kan altid skrives som en linearkombination af et ordnet par af ortogonale Qubits. Dette er en standardegenskab ved et 2-dimensionalt vektorrum. Det eneste usædvanlige er at kalde en enhedsvektor en Qubit!

Men den fysiske fortolkning af denne matematiske model er ganske overraskende. Enhver fysisk måling af en Qubit er repræsenteret ved et ordnet par af ortogonale Qubits, som er bestemt af måleapparaturets orientering i planet. Selve målingen medfører, at den oprindelige Qubit foretager et kvantespring til enten den første eller den anden Qubit i det ordnede par. Den nye Qubit forbliver uændret ved gentagne målinger med samme orientering af apparaturet. Dette er kvantefysik i en nøddeskal. Sandsynligheden for et kvantespring er givet ved kvadratet på skalarproduktet mellem enhedsvektoren før og efter springet.

Gentagne målinger med det samme apparatur medfører altså en veldefineret qubit, som kan være den første eller den anden qubit i et ordnet par. Dette gør det muligt at definere den klassiske bit “0” for den første qubit og den klassiske bit “1” for den ande qubit i et ordnet par. De klassiske bit “0” og bit “1” fremkommer altså ved en måling af en qubit i en bestemt retning. En ny måling efter en rotation af måleapparatet vil medføre, at enhver eksisterende qubit foretager et kvantespring til den første eller den anden qubit i et nyt ordnet par af ortogonale qubits. Det nye pars retning er bestemt af  apparaturets rotationsvinkel. Det er specielt interessant at anvende målinger med to ordnede par af qubits, som er roterede med 90° i forhold til hinanden. Man kalder også et sådant ordnet par for en basis for målingen.

Det ordnede par af ortogonale qubits svarende til en måling i den vertikale retning er givet ved:
V = ([1,0]T,[0,1]T)

Det ordnede par af ortogonale qubits svarende til en måling i den horisontale retning er givet ved:
H = ([1,-1]T/√2,[1,1]T/√2)

Sandsynligheden for et kvantespring fra den første qubit i basen V til den første qubit i basen H er givet ved kvadratet på skalarproduktet:
([1,0][1,-1]T/√2)² = (1×1-1×0)²/2 = 1/2

Det samme resultat gælder for alle 4 kvantespring mellem de 2 qubits i basen V og de 2 qubits i basen H. Skalarproduktets symmetri med hensyn til ombytning af vektorerne betyder, at det samme resultat gælder for kvantespring fra qubits i basen H til qubits i basen V.

Alice, Bob og Eve

Alice, Bob og Eve er tre personer, som ofte forekommer i den kryptografiske litteratur. Alice ønsker at sende en fortrolig besked til Bob; men Eve ønsker at aflytte (aflytte = eavesdrop på engelsk) beskeden med onde hensigter. Hvordan kan Alice kryptere beskeden, så Bob kan læse beskeden, uden at Eve er i stand til at afkode den? Dette er kryptografiens centrale spørgsmål. Standardmetoden for kryptering og dekryptering anvender to trin. Det første trin sker ved den første kontakt, hvor de to parter bliver enige om en krypteringsnøgle – en lang streng af binære cifre. Når de begge er i besiddelse af den samme nøgle, anvendes den til både at kryptere og dekryptere beskeder fra den ene til den anden. Metodens sikkerhed står og falder med den sikre udveksling af nøglen.

Charles Bennett og Gilles Brassard opfandt i 1984 en protokol (BB84) til sikker udveksling af en krypteringsnøgle ved anvendelse af en streng af uafhængige qubits. Alice vælger en nøgle, som hun ønsker at sende til Bob. Nøglen består af en streng af klassiske bits. Alice vælger for hver bit tilfældigt en af de to baser V og H med lige stor sandsynlighed. Hun sender dernæst den tilsvarende qubit. Antag, at hun er kommet til bit “0”: Hvis hun vælger basen V, må hun sende [1,0]T; hvis hun derimod vælger basen H, må hun sende [1,-1]T/√2. Hun følger den samme procedure for hver bit, idet hun opretholder en optegnelse over, hvilken af de to baser, der blev brugt til hver bit.

Bob måler ligeledes de modtagne qubits i en helt tilfældig rækkefølge af de samme baser V og H med lige stor sandsynlighed. Resultatet er en rækkefølge af målte klassiske bits med de tilhørende V eller H baser. Bob opretholder også en optegnelse over, hvilke af de to baser, der blev brugt til hver bit.

Alice og Bob udveksler til slut de to optegnelser over en ukrypteret forbindelse. Kun bitværdier målt med de samme baser i de to optegnelser vil være korrekte. Alice og Bob bliver enige om, at fjerne alle bits målt med forskellige baser. Hvad er egentlig fidusen ved denne metode? Udvekslingen er sket over en ukrypteret forbindelse, som kan aflyttes af enhver. Halvdelen af den hemmelige nøgle er desuden forsvundet, da ca. halvdelen af alle qubits blev målt med forskellige baser hos Alice og Bob. Det er imidlertid ikke uhørt, at bit forsvinder på grund af støj på en transmission. Løsningen er at gentage hver bit flere gange. Det største problem er imidlertid, at Eve også meget let kan aflytte forbindelsen. Hvordan kan Alice og Bob sikre sig mod, at Eve er med på en lytter?

Eve er meget opsat på at opsnappe qubits på vej fra Alice til Bob for om muligt at lave en kopi af hver qubit for at sende den ene videre til Bob og måle den anden med de samme baser. Dette er heldigvis en umulighed på grund af et kvantemekanisk no cloning teorem. Eves eneste mulighed er at følge Bobs eksempel ved måle de modtagne qubits i en helt tilfældig rækkefølge med de samme baser V og H og videresende de målte qubits til Bob. Eve opretholder sin egen hemmelige optegnelse over, hvilke af de to baser, som blev brugt ved måling af hver bit. Eve kan nu sammenligne sin optegnelse med Alice og Bobs fælles offentlige liste over sikre bits. Eve har imidlertid kun målt halvdelen af disse bits med de samme baser som Alice og Bob. Eve kan kun aflytte nøglen, hvis Alice og Bob er så venlige at gentage alle bit i nøglen mindst 4 gange.

Men alt er ikke tabt for Alice og Bob. De kan meget let opdage, at kun halvdelen af de sikre bits i den fælles liste faktisk er ens. Dette er et sikkert tegn på, at udvekslingen af qubits er blevet aflyttet. De skal nu straks stoppe ethvert forsøg på an anvende nøglen.

Anvendelsesmulighederne for enkelte uafhængige qubits er meget begrænsede. Man har brug for et såkaldt entanglement af to vekselvirkende qubits. Fænomenet blev opdaget af Schrödinger som et argument for Einsteins og mod Bohrs fortolkning af den kvantemekaniske måling (fortolkningen skyldes egentlig Max Born). Schrödinger’s cat var et andet kendt argument mod Bohrs fortolkning.

Have physicists found a way to save Schrödinger’s cat?

By David Shultz |

In Schrödinger’s classic thought experiment, the life of a cat in a closed box hangs on the outcome of a quantum reaction in which a piece of radioactive material either does or does not decay to trigger the release of a poison. The catch, of course, is that until the box is opened and the experiment is observed, the cat remains in a state of limbo where it is both dead and alive simultaneously. However, in a new study in Nature, researchers used a supercooled electrical circuit to model an atom with multiple energy levels to show that the life-or-death quantum jump is not quite instantaneous after all; it even comes with warning signs that occur slightly ahead of the jump, allowing the researchers to reverse the process. Good news for Schrödinger’s cat, no doubt, but also for physicists working on quantum computers in which unintended quantum state changes can result in errors, The Guardian reports.

 

Kvanteberegninger: Spin & Qubits

Den matematiske model for en kvantetilstand anvender både sandsynligheder og vektorer.  Den grundlæggende model er et vektorrum. Enhver måling vil antage én ud af et vist antal forskellige værdier, som bestemmer vektorrummets dimension. Måling af en spintilstand har kun to mulige udfald, så det underliggende vektorrum er 2-dimensional. Vi sætter dette rum til at være ℜ² – det 2-dimensionale plan, som vi alle kender i form af et stykke ternet papir. Vi vil ikke betragte alle vektorer i ℜ², kun enhedsvektorer med længden <v|v>=1.

Valg af en retningen for målinger af en spintilstand svarer til valg af en ordnet ortonormal basis (|b1>,|b2>). De to vektorer i denne basis svarer til de to mulige udfald af målingerne. Vi vil altid forbinde N med den første basisvektor og S med den anden. Før spinmålingen vil partiklen befinde sig i en spintilstand givet ved linearkombinationen |v>=c1|b1>+c2|b2>.  Ved selve målingen springer tilstanden fra |v> til enten |b1> eller |b2>. Dette er én af de grundlæggende idéer i kvantemekanik: Målinger  får tilstandsvektoren til at ændre sig. Den nye tilstand er en af basisvektorerne i forbindelse med målingen. Sandsynligheden for at springe til en bestemt basisvektor er givet ved begyndelsestilstanden. Sandsynligheden for at ende i |b1> er c1²; sandsynligheden for at ende i |b2> er c2². Tallene c1 og c2 kaldes sandsynlighedsamplituder. Det er vigtigt at huske, at disse ikke er sandsynligheder. De kan være både positive og negative. Det er kvadratet på disse tal, som er sandsynligheder. Den helt generelle formel for en spintilstand udtrykt ved en ordnet ortonormal basis har formen:

|v> = <b1|v>|b1> + <b2|v>|b2>.
De to overgangssandsynligheder er givet ved:
(1)  P(|v> ⇒ |b1>) = <b1|v.
(2) P(|v> ⇒ |b2>) = <b2|v.

Jeg vil nu undersøge 2 på hinanden følgende målinger med hver sin ordnede ortonormale basis: (|v1>,|v2>) og (|w1>,|w2>).
Der er 4 overgangssandsynligheder ved 2 på hinanden følgende målinger:
(1)  P(|v1> ⇒ |w1>) = <w1|v1.
(2) P(|v1> ⇒ |w2>) = <w2|v1.
(3) P(|v2> ⇒ |w1>) = <w1|v2.
(4) P(|v2> ⇒ |w2>) = <w2|v2.

Jeg vil vende tilbage til spinmålinger i de vertikale og horisontale retninger for at gøre tingene lidt mere konkrete. Den ordnede ortonormale basis svarende til måling af spin i den vertikale retning er (|↑>,|↓>), hvor |↑>=[1,0]T og |↓>=[0,1]T. Den første basisvektor svarer til, at elektronen har spin N i retningen 0° og den anden svarer til, at elektronen har spin S i retningen 0°.

Måling af spin i den horisontale retning er givet ved den ordnede ortonormale basis (|→>,|←>), hvor |→>=[1,-1]T/√2 og |←>=[1,1]T/√2. Den første basisvektor svarer til, at elektronen har spin N i retningen 90° og den anden svarer til, at elektronen har spin S i retningen 90°.

Spintilstanden måles først i den vertikale retning. Vi kender ikke spintilstanden for den indkommende elektron, men den må være en enhedsvektor, så den kan skrives som c1|↑> + c2|↓>, hvor c1²+c2²=1. Elektronen afbøjes enten opad, idet den springer til |↑> eller den afbøjes nedad, idet den springer til |↓>. Sandsynligheden for at den afbøjes opad er c1² og sandsynligheden for at den afbøjes nedad er c2².

De 4 overgangssandsynligheder for 2 på hinanden følgende målinger i først den vertikale retning, dernæst i den horisontale retning, er givet ved:
(1) P(|↑> ⇒ |→>) = <→|↑>².
(2) P(|↑> ⇒ |←>) = <←|↑>².
(3) P(|↓> ⇒ |→>) = <→|↓>².
(4) P(|↓> ⇒ |←>) = <←|↓>².

Man ser umiddelbart, at sandsynligheden for at måle den samme værdi er 1.0, hvis den anden basis er identisk med den første, altså hvis man foretager den anden måling med apparaturet orienteret i den samme retning. Hvis apparaturet er roteret med 90°, findes sandsynlighederne ved at indsætte i tabellen. Det er imidlertid praktisk først at udregne de 4 tilsvarende sandsynlighedsamplituder, som ikke er sandsynligheder:
(1)  <→|↑> = [1,-1]/√2[1,0]T = (1×1-1×0)/√2 = 1/√2.
(2) <←|↑> = [1,+1]/√2[1,0]T = (1×1+1×0)/√2 = 1/√2.
(3) <→|↓> = [1,-1]/√2[0,1]T = (1×0-1×1)/√2 = -1/√2.
(4) <←|↓> = [1,+1]/√2[0,1]T = (1×0+1×1)/√2 = +1/√2.

Man ser, at alle fire overgangssandsynligheder har værdien: P = 1/2.

Ækvivalente tilstandsvektorer

Antag, at vi har et antal elektroner, som angiveligt har spintilstande |v> eller -|v>. Findes der en måling, som kan adskille de to tilstande? Enhver enhedsvektor |v> kan skrives som en linearkombination af 2 ortonormale basisvektorer, hvor de 2 lineære koefficienter er sandsynlighedsamplituder , som skifter fortegn med |v>. Men husk, de målte sandsynligheder er givet ved kvadratet på amplituderne, så sandsynlighederne er uændrede ved et fortegnsskift af en spintilstand. Hvorfra kommer den postulerede ortonormale bases svarende til måling af spin i en bestemt retning, hvis fortegnet er ubestemt?

Basen tilknyttet en given spinretning

Vi begynder med måleapparaturet. Vi vælger den vertikale retning som begyndelsespunkt for en rotation med uret. Vi måler den horisontale retning, når apparaturet er blevet roteret 90°. Når apparaturets rotation har nået 180° måles den vertikale retning endnu en gang. En elektron, som har spin N i retningen 0°, vil have spin S i retningen 180°, og en elektron, som har spin S i retningen 0°, vil have spin N i retningen 180°. Vi behøver kun at rotere apparaturet fra 0° til 180° for at dække alle mulige spinretninger.

Jeg tager standardbasen ([1,0]T,[0,1]T) som udgangspunkt. Denne afbildes som to ortogonale enhedsvektorer i planet, som vist i Figur Q1.


Figur Q1: En standardbasis (|↑>,|↓>) for to dimensioner.

Jeg roterer nu disse vektorer med vinklen α° Denne generelle rotation afbildes i figur Q2.

Figur Q2: En standardbasis roteret med α°.

Vektoren [1,0]T roteres til [cos(α),-sin(α)]T, og [0,1]T roteres til [sin(α),cos(α)]T.
Rotationen ændrer den oprindelige ordnede, ortonormale basis fra ([1,0]T,[0,1]T) til ([cos(α),-sin(α)]T,[sin(α),cos(α)]T).  Ved rotationen α=90° antager denne basis den simple form ([0,-1]T,[1,0]T). Jeg har tidligere nævnt, at [0,-1]T er ækvivalent med -[0,-1]T=[0,1]T. Den roterede basis er altså ækvivalent med den oprindelige basis, på nær en ombytning af basisvektorernes orden (dvs N og S er ombyttet).

(a) Målevinklen.                                                                                             (b) Tilsvarende basis.

Figur Q3: Efter rotation af måleapparatur med θ°.

Vi lader θ angive måleapparatets rotationsvinkel og vinklen α angive basisvektorernes rotationsvinkel. Vi har set, at vi får et fuldstændigt sæt af retninger, når θ går fra 0° til 180°, samt at vi får et fuldstændigt sæt af basisrotationer, når α går fra 0° til 90°. Når vi når θ=180°, og α=90°, vil N og S målt i retningen 0° være blevet ombytet.

Vi laver den naturlige definition, at θ = 2α. Den basis, som svarer til at apparaturet roteres med vinklen θ er derfor givet ved
([cos(θ/2),-sin(θ/2)]T,[sin(θ/2),cos(θ/2)]T).
Dette illustreres i figur Q3.

Det er måske på sin plads med en opsummering: En vektor er en liste af tal, som antager to former: En rækkevektor med betegnelsen <•| (bra) eller en søjlevektor med betegnelsen  |•> (ket).  Antallet af tal i en vektor omtales som dens dimension. En matrix M kan opfattes som enten en række af søjlevektorer eller som en søjle af rækkevektorer.  En ombytning af rækker og søjler i en matrix M kaldes en transponering. Den angives med betegnelsen MT. Heraf følger, at en <•| = |•>T. Det (indre) skalarprodukt af to vektorer med samme dimension kan angives ved udtrykket <•|•> (bra-ket). Dette er grunden til, at Dirac indførte disse specielle betegnelser for række- og søjlevektorer. Jeg har angivet søjlevektorer som transponerede rækkevektorer, da det ikke er muligt at angive søjlevektorer og matricer i HTML.

Rotation af måleapparatet med 60°

Antag, at vi måler elektronen til at have spin N i retningen 0°. Vi vil måle den igen efter en apparaturdrejning på 60°. Hvad er sandsynligheden for at vi får spin N i denne retning?

Figur Q3 viser, at den tilsvarende basis er givet ved:
([cos(30°),-sin(30°)]T,[sin(30°),cos(30°)]T)=([√3,-1]T/2,[1,√3]T/2).

Da elektronen blev målt til at have spin N i retningen 0°, var dens tilstandsvektor efter den første måling givet ved [1,0]T. Sandsynlighedsamplituden for overgangen er givet ved skalarproduktet
[1,0][√3,-1]T/2=√3/2.
Sandsynligheden for at måle spin N i retningen 60° er P(N) = (√3/2)² = 3/4.