Baner omkring en sfærisk stjerne

Karl Schwarzschild fandt i 1916 geometrien for rumtiden omkring en sfærisk stjerne. Jeg vil følge Jemes B. Hartles bog, idet jeg anvender geometriske enheder ved at sætte c=1 og G=1:
2 = (1-2M/r)dt2-(1-2M/r)-1dr2-r22
hvor φ er azimutvinklen i baneplanet. (t,r,φ) fastlægger et punkt i rumtiden. Koordinathastigheden langs en partikelbane er givet ved
(ut, ur, uφ) = (dt/dτ, dr/dτ, dφ/dτ)
hvor τ er tiden målt på et ur, der følger med partiklen. Hvis man dividerer formlen for rumtidsgeometrien med dτ2 fås
(a) 1 = (1-2M/r)(ut)2-(1-2M/r)-1(ur)2-r2(uφ)2
M er stjernens masse i geometriske enheder. t er koordinattide, og r er koordinatafstanden fra stjernens centrum. Jeg vender tilbage til fysiske enheder, når jeg har et resultat. Bemærk, at den sidste ligning er opfyldt for enhver partikelbane. Den gælder også for en partikel, som ligger stille i rummet. Jeg er imidlertid interesseret i en partikel i frit fald omkring stjernen. En sådan følger en geodætisk kurve, som er det krumme rums svar på en ret linie. Nu er rumtidsgeometrien heldigvis uafhængig af både t og φ. Man kan vise, at en fritfaldende partikel har to bevarede størrelser for ut og uφ:
(b) e = (1-2M/r)ut
(c) l = r2uφ
hvor e er energi per masseenhed og l er impulsmoment per masseenhed. ut og uφ i formlerne (b) og (c), som altid skal være opfyldte, og som efter indsættelse i (a) giver:
1 = e2/(1-2M/r) – (dr/dτ)2/(1-2M/r) – l2/r2
som medfører
e2 = (dr/dτ)2 + (1-2M/r)(1+l2/r2)
Træk dernæst 1 fra og divider med 2 på begge sider, og definer ε:
ε ≡ ½(e2-1) = ½(dr/dτ)2 + ½[(1-2M/r)(1+l2/r2)-1]
Det sidste led på højre hånd kan omskrives til udtrykket

Veff(r) = -M/r + ½l2/r2 – M⋅l2/r3

der optræder som et effektivt potential for den radiale bevægelse, så energibevarelsen antager formen

ε = ½(dr/dτ)2 + Veff(r)

Den eneste forskel fra den newtonske mekanik er det sidste led i Veff(r), nemlig: -M⋅l2/r3. Jeg kunne nu gå videre og beregne omløbstiden i både egentiden τ og i koordinattiden t. τ måles af et ur, som følger med partiklen. t måles af et ur i stor afstand fra stjernen. Men dette vil, såvidt jeg kan se, involvere et elliptisk integral eller en numerisk integration, så jeg vil i stedet undersøge et frit fald langs en cirkelbane.

Man kan vise, at det effektive potential Veff(r) kun har et minimum, hvis r > 6M. Der eksisterer kun stabile cirkelbaner med koordinatafstande, som er større end 6M. For en cirkelbane må gælde, at dr/dτ = 0 (konstant afstand fra centrum), så energiligningen giver
e2 = (1-2m/r)(1+l2/r2)
Men en cirkelbane må også befinde sig i bunden af potentialet Veff(r). Ved at sætte dVeff/dr = 0 findes løsningerne:
r = ½(l2/M)[1∓(1-12(M/l)2)1/2]
“+”-tegnet svarer til bunden af potentialet. Ved omrokering af leddene findes l2 som funktion af r:
l2 = M⋅r/(1-3M/r)
Ved at indsætter 1+l2/r2 i ligningen for e2 findes
e2 = (1-2M/r)2/(1-3M/r)
Jeg finder nu (l/e)2 for en cirkelbane ved at dividere de 2 udtryk.

(l/e)2 = M⋅r/(1-2M/r)2

Vinkelfrekvensen Ω for en cirkelbefægelse udtrykt ved Schwarzschilds titskoordinat t er givet ved

Ω ≡ dφ/dt = (dφ/dτ)/(dt/dτ) = uφ/ut = (1-2M/r)/r2(l/e)
hvor jeg har anvendt ligningerne for impulsmoment- og energibevarelse. Ved at kvadrere Ω og indsætte (l/e)2 for en cirkelbane fås dette simple udtryk

Ω2 = M/r3

for en cirkelbane. Perioden i tidskoordinater er 2π/Ω, så man ser, at kvadratet på perioden i tidskoordinater er proportional med 3. potens af den radiale koordinat. Keplers tredie lov gælder altså i Schwarzschild-koordinater. Tidskoordinaten t måles med et ur i uendelig afstand fra stjernen. Den radiale koordinat er defineret ved, at overfladen på en kugle med radius r er 4πr2. Parameteren τ vises af et ur, som følger med partiklen. Jeg er altså interesseret i at koordinathastigheden for tiden, dvs dt/dτ = ut. Koordinathastigheden for φ er uφ = dφ/dτ = (dφ/dt)(dt/dτ) = Ωut. Da vi betragter en cirkelbane gælder ur = dr/dτ = 0. Ved at indsætte koordinathastighederne i normeringsligningen, som gælder for alle kurver, får jeg udtrykket:

1 = (1-2M/r)(ut)2 – r2(uφ)2 = (1-2M/r-r2Ω2)(ut)2

Det endelige resultat er følgende udtryk for gangen af et ur placeret langt fra stjernen i forhold til gangen af et ur, som følger med partiklen:

dt/dτ = 1/[1-2M/r-r2Ω2]1/2 = 1/(1-3M/r)1/2

Jeg indsætter nu G og c2 og når det endelige resultat med dimensioner:

dt/dτ = 1/(1-3(G/c2)M/r)1/2

Jeg vil nu sammenligne cirkelbaner omkring Solen og Sirius B svarende til overfladernes afstand fra centrum. Jeg ser bort fra, at det er en varm fornøjelse. Accelerationen på Solens overflade er 27.94 g⊕. Men dette er intet mod accelerationen på Sirius B. Den er ikke mindre end 3.9⋅10⁵ g⊕. Frit fald i en cirkelbane vil være en lettelse, og tidsforlængelsen bliver desuden forøget med 50% som følge af rumskibets hastighed. Det er den ubenævnte størrelse (G/c2)M/R, som indgår i formlen, så den vil jeg først beregne for Solen og Sirius B:
(M/R) = 2.1226⋅10-6
(M/R)B = 2.47⋅10-4
Jeg vil nu beregne, hvor meget et ur fjernt fra Solen og Sirius B vinder i forhold til et ur ombord på rumskibet.

(dt/dτ) – 1 = 3.18⋅10-6
(dt/dτ) – 1 = 3.7⋅10-4

I løbet af 1 milliard år vil det fjerne ur vinde 3180 år i forhold til et ur i kredsløb om Solen. I det samme tidsrum vil det fjerne ur vinde 370000 år i forhold til et ur i kredsløb om Sirius B.

Men kan en astronaut tåle at gå i kredsløb om Sirius B? Hvad er forskellen i acceleration mellem hoved og fod? Jeg vil antage, at astronautens højde er ΔR = 2m. Tyngdeaccelerationen er g=-G⋅M/R2 (jeg regner klassisk). En lille ændring ΔR i radius medfører denne ændring i acceleration: Δg=2(G⋅M/R3)ΔR=2g⋅ΔR/R. g=3.9⋅105g og R=5.84⋅106m, så jeg får Δg=2g⋅ΔR/R=0.27g.

 

Zero Active Mass Contition

Er det kun en Friedmann–Robertson–Walker (FRW) kosmologisk model med Zero Active Mass, som er forenelig med de seneste modeluafhængige Baryonic Acoustic Oscillation (BAO) data?

Dette hævder Fulvio Melina i disse 2 artikler. Artiklerne vedrører slet ikke observationer. De er et argument for, at Universet hverken accelererer eller decelererer. Accelerationen er faktisk nul, hævder artiklen. Det er en meget mærkelig historie. Melina hævder, at den sædvanlige FRW-model kræver, at materien er i frit fald. Dette er jo korrekt, da de oprindelige kosmologiske modeller var lavet for “støv” uden tryk. Partiklerne kan ikke undgå at være i frit fald. Forfatteren træder nu et skridt tilbage og anvender Einsteins feltligninger på en generel sværisk symmetrisk eksplosion af en stjerne beskrevet i medfølgende koordinater. Såvel mumtids-geometrien som tryk og energitæthed er funktioner af både tid, t, og afstand, r, fra centrum. Først herefter sættes tryk og energitæthed til kun at afhænge af tiden, t. Melina hævder, at de medfølgende koordinater i denne løsning repræsenterer et accelereret referencesystem, dvs et system som IKKE er i frit fald, hvorfor man ikke bare kan transformere tidskoordinaten, så man opnår linieelementet ds2 for en FRW-model. Det er korrekt, at trykgradienter kan få stoffets bevægelse til at afvige fra et frit fald, men Melina skriver, at det samme argument gælder for Einstein-de Sitter-modellen, som er fyldt med støv. Hvordan kan stof uden tryk afvige fra et frit fald? Det lyder suspekt. Jeg bliver nødt til at opskrive Melinas rumtid for Einstein-de Sitter-modellen:

ds² = e2Φ(t)/c2c2dt2 – a(t)(dx2+dy2+dz2)

Der anvendes medfølgende koordinater, så koordinathastighederne er givet ved ut=dt/ds, ux=uy=uz=0. Partiklerne ligger helt stille i de rumlige koordinater (x,y,z). Tidens koordinathastighed må opfylde en betingelse, som man ser ved at dividere rumtidens linieelement med ds2:

1 = e2Φ(t)/c2c2(dt/ds)2 = e2Φ(t)/c2c2(ut)2

Hvis man nu differentierer ovenstående med hensyn til s, fås

d2t/ds2 = dut/ds = -(dΦ/dt)(ut)2 = -(dΦ/dt)(dt/ds)2

Man ser, at tidskoordinaten accelererer med hensyn til rumtidsafstanden s langs partiklens bane. Dette er faktisk ligningen for en geodætisk kurve, dvs ligningen for partiklens frie fald. Der er derfor intet argumen mod at transformere tidskoordinaten, så man ender med den sædvanlige FRW-model. Det var stort set spild af tid at læse artiklerne.

The Zero Active Mass Condition in Friedmann-Robertson-Walker Cosmologies

ABSTRACT: Many cosmological measurements today suggest that the Universe is expanding at a constant rate. This is inferred from the observed age versus redshift relationship and various distance indicators, all of which point to a cosmic equation of state (EoS) p=-rho/3, where rho and p are, respectively, the total energy density and pressure of the cosmic fluid. It has recently been shown that this result is not a coincidence and simply confirms the fact that the symmetries in the Friedmann-Robertson-Walker (FRW) metric appear to be viable only for a medium with zero active mass, i.e., rho+3p=0. In their latest paper, however, Kim, Lasenby and Hobson have provided what they believe to be a counter argument to this conclusion. Here, we show that these authors are merely repeating the conventional mistake of incorrectly placing the observer simultaneously in a co-moving frame, where the lapse function g_tt is coordinate dependent when rho+3p is not 0, and a supposedly different, free-falling frame, in which g_tt=1, implying no time dilation. In FRW, however, such a dichotomy is not even possible because the co-moving and free-falling frames are identical to each other at every spacetime point. So this confusion of frames not only constitutes an inconsistency with the fundamental tenets of general relativity but, additionally, there is no possibility of using a gauge transformation to select a set of coordinates for which g_tt=1 when rho+3p is not 0.

Physical Basis for the Symmetries in the Friedmann-Robertson-Walker Metric

ABSTRACT: Modern cosmological theory is based on the Friedmann–Robertson–Walker (FRW) metric. Often written in terms of co-moving coordinates, this well-known solution to Einstein’s equations owes its elegant and highly practical formulation to the cosmological principle and Weyl’s postulate, upon which it is founded. However, there is physics behind such symmetries, and not all of it has yet been recognized. In this paper, we derive the FRW metric coefficients from the general form of the spherically symmetric line element and demonstrate that, because the co-moving frame also happens to be in free fall, the symmetries in FRW are valid only for a medium with zero active mass. In other words, the spacetime of a perfect fluid in cosmology may be correctly written as FRW only when its equation of state is rho+3p=0, in terms of the total pressure p and total energy density rho. There is now compelling observational support for this conclusion, including the Alcock–Paczynski test, which shows that only an FRW cosmology with zero active mass is consistent with the latest model-independent baryon acoustic oscillation data.

 

weff-modellen og wCDM-modellen

Jeg har tidligere forklaret ΛCDM-modellen og dens teoretiske problemer med at forklare den kosmologiske konstants lille værdi, som “tilfældigvis” er af samme størrelsesorden som den nuværende tæthed af Cold Dark Matter (mørkt stof). Jeg vil følge Mukherjee i at sætte lyshastigheden til c=1 (den har jo alligevel i mange år været defineret). Friedmann-Robertson-Walker (FRW) rumtiden med et fladt 3D-rum antager så den simple form: ds2 = dt2 – a2(t)[dx2 + dy2 + dz2]. Einsteins 2 feltligninger for denne rumtid med energitæthed ρ(t) og tryk p(t) antager disse simple former (Friedmanns ligninger)
3H² = 8πG⋅ρ
2(dH/dt) + 3H² = -8πG⋅p,
hvor H er Hubbles parameter defineret som H = (da/dt)/a. Det er praktisk at anvende rødorskydning, z, i stedet for kosmisk tid, t. Sammenhængen mellem z og t er givet ved definitionen: 1 + z = a0/a(t), hvor a0 er den nuværende værdi. Dette medfører
(dz/dt)/(1+z) = -(da/dt)/a = -H
dz = -(1+z)H⋅dt
dH/dt = -(1+z)H(dH/dz)

For at kunne løse de 2 Friedman-ligninger må man antage en bestemt sammenhæng mellem tryk og energitæthed i form af en tilstandsligning af formen p = w⋅ρ, hvor w er tilstandsparameteren: w=1/3 for stråling, w=0 for koldt mørkt stof og w=-1 for mørk energi i form af Λ. Den mørke energis natur er imidlertid så ukendt, at man sagtens kan forestille sig en anden tilstandsparameter end w=-1, bare w < -1/3, så Universet ender med at accelerere. En sådan model betegnes wCDM.

Forfatteren går et skridt videre, idet han indfører en effektiv tilstandsparameter, weff, ud fra det totale tryk og den totale energitæthed, som de indgår i Friedmanns ligninger: weff = p/ρ. Forfatteren finder weff(z) udtrykt ved H(z):
weff = -(2/3)(dH/dt)/H2 – 1 = (2/3)(1+z)(dH/dz)/H – 1

For at finde H(z) må vi nødvendigvis antage en bestemt form for weff(z). Man kan opfatte det følgende som et salgstilbud til naturen. Vi har hidlil kun tilbudt konstanten Λ, som Einstein indførte i 1917 for at kunne opnå et statisk rum uden rand. Pauli indså senere, at Λ kunne være nulpunktsenergien for det tomme rum, selvom den aktuelle værdi var alt for lille. Moderne observationer viser, at rummet er fladt, så Λ er helt overflødig, hvis det ikke lige var for Universets acceleration. ΛCDM passer forbløffende godt med alle observationer, men kunne det skyldes, at man ikke har tilbudt andre muligheder end ΛCDM? Ankan Mukherjee foreslår en effektiv tilstandsparameter, som går mod en ren “Cold Dark Matter”- model for store rødforsyninger z, men som også indeholder ΛCDM-modellen som et specialtilfælde. Mørkt stof er absolut nødvendigt for, at vi kan give en forklaring på temperaturfluktuationerne i den kosmiske mikrobølgebaggrundsstråling. Men det er på ingen måde sikkert, at CDM og mørk energi er uafhængige. Vi giver altså naturen i form af mange forskellige observationer en mulighed for at fravælge ΛCDM. Den effektive tilstandsparameter antages at være bestemt ved konstanterne α og n:

weff(z) = -1/[1 + α(1+z)n]

Dette udtryk indsættes i differentialligningen for H(z), og man finder

H(z) = H0[(1+α(1+z)n)/(1+α)]3/2n,
hvor n = 3 svarer til ΛCDM-modellen.

Køber naturen så Λ ? Dette ses i følgende figur:

Konfidenskonturer for parametrene (α,n), som definerer weff(z)-modellen.
Konfidenskonturer for parametrene (α,n), som definerer weff(z)-modellen.

Man ser, at n befinder sig forbløffende tæt på n=3 (ΛCDM). Hvordan det forholder sig med wCDM-modellen ses i den næste figur:

Konfidenskontur for parametrene (Ωm,wDE), der definerer wCDM-modellen.
Konfidenskontur for parametrene (Ωm,wDE), der definerer wCDM-modellen.

Også i dette tilfælde befinder wDE sig i forbløffende nærhed af wDE = -1 (ΛCDM). Det er også interessant at plotte forløbet af weff(z) for både weff-modellen og wCDM-modellen:

Den effektive tilstandsparameter som funktion af rødforskydning z for de to modeller.
Den effektive tilstandsparameter som funktion af rødforskydning z.

De 2 kurver ligner hinanden til forveksling. Det passer godt med, at begge modeller har lagt sig tæt op ad ΛCDM-modellen. Jeg er bange for, at naturen har købt ΛCDM-modellen ud af et bredere salgstilbud. Dette betyder selvfølgelig ikke, at den endelige fysiske teori må involvere den kosmologiske konstant. Det betyder, at den endelige teori må ligne ΛCDM til forveksling.

Acceleration of the universe: a reconstruction of the effective equation of state

ABSTRECT: The present work is based upon a parametric reconstruction of the effective or total equation of state in a model for the universe with accelerated expansion. The constraints on the model parameters are obtained by maximum likelihood analysis using the supernova distance modulus data, observational Hubble data, baryon acoustic oscillation data and cosmic microwave background shift parameter data. For statistical comparison, the same analysis has also been carried out for the wCDM dark energy model. Different model selection criteria (Akaike information criterion (AIC)) and (Bayesian Information Criterion (BIC)) give the clear indication that the reconstructed model is well consistent with the wCDM model. Then both the models (weff(z) model and wCDM model) have also been presented through (q0,j0) parameter space. Tighter constraint on the present values of dark energy equation of state parameter (wDE(z=0)) and cosmological jerk (j0) have been achieved for the reconstructed model.

3 planeter om ultrakold dværg

Michaël Gillon og medforfattere rapporterer om opdagelsen af 3 tempererede jordlignende planeter om en ultrakold dværgstjerne: TRAPPIST-1 (TRansiting Planets and PlanetIsimals Small Telescope). Følgende tabel giver parametrene for planetsystemet.

Egenskaber ved TRAPPIST-1 planetsystemet.
Egenskaber ved TRAPPIST-1 planetsystemet.

Temperate Earth-sized planets transiting a nearby ultracool dwarf star

ABSTRACT: Star-like objects with effective temperatures of less than 2,700 kelvin are referred to as ultracool dwarfs. This heterogeneous group includes stars of extremely low mass as well as brown dwarfs (substellar objects not massive enough to sustain hydrogen fusion), and represents about 15 per cent of the population of astronomical objects near the Sun. Core-accretion theory predicts that, given the small masses of these ultracool dwarfs, and the small sizes of their protoplanetary disk, there should be a large but hitherto undetected population of terrestrial planets orbiting them – ranging from metal-rich Mercury-sized planets to more hospitable volatile-rich Earth-sized planets. Here we report observations of three short-period Earth-sized planets transiting an ultracool dwarf star only 12 parsecs away. The inner two planets receive four times and two times the irradiation of Earth, respectively, placing them close to the inner edge of the habitable zone of the star. Our data suggest that 11 orbits remain possible for the third planet, the most likely resulting in irradiation significantly less than that received by Earth. The infrared brightness of the host star, combined with its Jupiter-like size, offers the possibility of thoroughly characterizing the components of this nearby planetary system.

 

Er Λ det tomme rums nulpunktsenergi?

 Wolfgang Ernst Pauli var den første, som stillede spørgsmålet: Kan elektromagnetisk nulpunktsenergi forklare Einsteins kosmologiske konstant Λ? Han stillede spørgsmålet ved forelæsninger og til de studerende under mere private former.

Jeg vil her forsøge at forklare problemstillingen så simpelt, som jeg kan. I såvel den klassiske som den kvantemekaniske mekanik anvendes faserummet, som er et 6D-rum, bestående af stedskoordinater (x,y,z) med de tilhørende impulskoordinater (px,py,pz). Et punkt i faserummet er givet ved koordinaterne (x,y,z,px,py,pz), som mere kompakt angives som (r,p), hvor r angiver de 3 rumlige koordinater og p angiver de 3 impuls-koordinater. Kvantefysik fortæller os, at faserummet inddeles i celler med rumfanget h3, hvor h er Plancks konstant. Længden af impulsvektoren p angives ved p, så vi har p2=px2+py2+pz2. For fotoner gælder, at energien E er givet ved E = c⋅p. Hver af cellerne med rumfanget h3 bidrager med nulpunktsenergien 1/2E.

Jeg finder nu faserumfanget dΩ i enheder af h3 for det rumlige rumfang V og en kugleskal med radius p og tykkelse dp i impulsrummet:

dΩ = V 4π(p/h)2(dp/h)

Jeg får ved at indsætter p=E/c:

dΩ = V 4π(E/hc)2(dE/hc),

hvor dΩ er antallet af celler hver med nulpunktsenergien 1/2E. Den samlede energitæthed for nulpunktsenergi i intervallet dE er

vac = dΩ/V = 2πE3dE/(hc)3

Jeg kan nu endlig integrere den samlede energitæthed op til en maksimal fotonenergi Emax:

ρvac = (π/2)Emax(Emax/hc)3

Jeg benytter mig nu af, at Emax = hνmax, så

ρvac = (π/2)(νmax/c)3max,

men νmaxλmin = c,

hvor λ min er bølgelængden svarende til frekvensen νmax, så jeg får

ρvac = (π/2)hνmaxmin3

Denne ligning har dimension af energi per rumfang. Hvis jeg ønsker en massetæthed, fås

ρvac = (π/2)(hνmax/c2)/λmin3

Den kosmologiske konstant Λ kan udtrykkes ved ρΛ:

Λ = 8πGρΛ

Universets acceleration som følge a den kosmologiske konstant er givet ved ä/a = Λ/3, så vi ser, at Λ har dimension af 1/t². Radius R for Einsteins statiske univers er givet ved (c/R)2 = Λ = 8πGρΛ, så

R = c/[8πGρΛ]½

Pauli hævdede ved forelæsninger, at Einsteins statiske univers ville få en radius mindre end afstanden til Månen, hvis man som den mindste bølgelængde vælger elektronens klassiske radius. Jeg vil nu slå de relevante størrelser op indsætte i formlerne.
re = 2.81794 x 10⁻¹⁵ m.
h = 6.62607 x 10⁻³⁴ Js.
c = 299792458 m/s.
G = 6.67408 x 10⁻¹¹ m³/kg/s².
Emax = 7.0493 x 10⁻¹¹ J = 7.8434 x 10⁻²⁸ kg.
ρvac = 5.5059 x 10¹⁶ kg/m³.
Hvis jeg sætter ρΛ = ρvac:

R = 31.2 km, som må siges at være vel under Månens afstand! Hvis jeg i stedet indsætter λmin = 100 μm, får jeg

R = 1.27 Gpc,

som er mere i overensstemmelse med virkeligheden, men hvorfor skulle man dog skære alle vakuumfluktuationer bort med bølgelængder under 0.1 mm? Dette forekommer vanvittigt.

Jeg finder den samme værdi som Norbert Straumann i artiklen

The history of the cosmological constant problem

Straumann: All expectations are in gigantic conflict with the facts.

ABSTRACT: The interesting early history of the cosmological term is reviewed, beginning with its introduction by Einstein in 1917 and ending with two papers of Zel’dovich, shortly before the advent of spontaneously broken gauge theories. Beside classical aspects, I shall also mention some unpublished early remarks by Pauli on possible contributions of vacuum energies in quantum field theory.

 

 

Einsteins afskyelige univers

Einstein var meget inspireret af videnskabsfilosoffen Ernst Machs kritik af Newton. Einstein omtalte forestillingen om, at Universets fjerneste masser påvirker inerti og andre lokale fænomener, som Machs princip. Einstein var overbevist om, at Universet måtte være statisk, hvis man skulle kunne være sikker på, at naturkonstanterne nu også var uforanderlige. Einsteins reaktion på Friedmanns artikel i 1922 om en ekspanderende løsning til den generelle relativitetsteoris feltligninger var, at der var tale om en regnefejl. Da han af Friedman var blevet overbevist om, at løsningen ikke var en regnefejl, var hans kommentar: Matematikken er i orden, men modellen er en fysisk umulighed. Einstein havde netop indført den kosmologiske konstant for at muliggøre eksistensen af en statisk løsning. Han havde også sikret sig, at konstanten ikke ændrede lokal energi- og impulsbevarelse. Fem år senere finder Georges Lemaître uafhængigt af Friedmann, at Einsteins statiske univers er ustabilt, idet det vil starte med at ekspandere (eller trække sig sammen). Lemître viser også, at modellen kan forklare den målte sammenhæng mellem afstand og rødforskydning for galakser. Lemaître udbad sig Einsteins kommentar på en konferense. Einstein: Det var dog en afskyelig tanke. Det var først tre år senere under et besøg på Caltech, at Richard Tolman og Edwin Hubble fik Einstein overbevist om, at Universet faktisk ekspanderer. Einstein var hurtig til at gå sammen med de Sitter om en gang for alle at aflive den kosmologiske konstant. Jeg er nu faldet over en artikel, som introducerer et univers med varierende naturkonstanter.

Einsteins feltligninger er som følger
Gμν = Rμν -1/2gμνR = 8πG(Tμν+ gμνρΛ) , hvor ρΛ=Λ/8πG

G er Newtons gravitationskonstant, Λ er Einsteins kosmologiske konstant, Gμν er Einsteins tensor, som sikrer energi- og impulsbevarelse, Tμν er energi-impulstensoren for normalt stof, og ρΛ er vakuum-energitæthed. Den afskyelige antagelse er, at G(t) og Λ(t) afhænger af den kosmiske tid. Den tilsvarende generalisering af Friedmanns ligning er

3H2(t) = 8πG(t)(ρm(t) + ρΛ(t)), hvor ρm er er ikke-relativistisk stof.

Ligningen for lokal energibevarelse bliver tilsvarende

d/dt[G(t)(ρm(t) + ρΛ(t))] + 3G(t)ρm(t)H(t) = 0

I det normale tilfælde kan G forkortes væk, da den er konstant, lige som den tidsafledede af vakuumenergien bliver 0, da den kosmologiske konstant er netop konstant. 3H i det sidste led er divergensen af det isotrope hastighedsfeltet. Kendere af hydrodynamik vil genkende kontinuitetsligningen for antallet af ikke-relativistiske partikler. Selvom antallet af partikler i det generelle tilfælde er bevaret, åbner forfatterne for, at partiklernes masser kan variere med tiden. Forfatterne foreslår et svagt brud på massebevarelse for ikke-relativistisk stof, så massetætheden for stof (mørkt og baryonisk) udvikler sig med rødforskydningen z som

ρm(z)/ρm(0) = (1+z)3(1-νm)

m| er meget mindre end 1. Forfatterne antager, at G varierer logaritmisk med den normerede Hubble-funktion E(z) = H(z)/H(0) som følger

G(z) = G(0)/[1 + νG ln E2(z)]

hvor |νG| også er meget mindre end 1. Ved indsættelse i Friedmanns ligning og ligningen for lokal energibevarelse finder forfatterne et udtryk for udviklingen af vakuumenergien som funktion af rødforskydningen z:

ρΛ(z) = ρΛ(0) + [ν/(1-ν)]ρm(0)[(1+z)3(1-νm)-1] , hvor ν = νm – νG

Forfatterne indsætter nu ovenstående resultater i Friedmanns ligning og finder følgende udtryk for den reducerede Hubble-function E(z):
E2(z) = [G(z)/G(0)]{1+Ωm(0)[(1+z)3(1-νm)-1]/(1-ν)}

Forfatterne tilpasser dernæst målinger af ekspansionsraten H(z) for forskellige rødforskydninger i området 0 < z < 2.36. Resultatet vises i deres figur 1.

Data for Hubble-ekspansionsraten H(z) ved forskellige rødforskydninger sammenlignet med den teoretiske H(z) for den "løbende vakuummodel" med G = konst og LambdaCDM-modellen.
Data for Hubble-ekspansionsraten H(z) ved forskellige rødforskydninger sammenlignet med den teoretiske H(z) for den “løbende vakuummodel” (RVM) med G = konst. og LambdaCDM-modellen.

Der er ingen signifikant forskel mellem de to modellers H(z)-funktion. Forfatterne plotter også gravitations-“konstantens” variation med z:

Udviklingen af G(z)/G(0) baseret på datapunkterne for H(z), som vises i ovenstående figur. Den fuldt optrukne linie er den teoretiske funktion G(z)/G(0) for RVM-modellen.
Udviklingen af G(z)/G(0) baseret på datapunkterne for H(z), som vises i figur 1. Den fuldt optrukne linie er den teoretiske funktion for RVM-modellen.

Figur 7 viser til slut udviklingen af vakuum-energitætheden for de samme data punkter:

Den fuldt optrukne kurve viser udviklingen af vakuum-energitætheden for RVM-modellen.
Den fuldt optrukne kurve viser udviklingen af vakuum-energitætheden for RVM-modellen.

Kosmologiske modeller med varierende vakuumenergi og gravitationskonstant G er helt i overensstemmelse med Einsteins Generelle Relativitetsteori. Einstein havde god grund til at være bekymret over det ekspanderende univers. Problemet havde dog været løst, hvis den kosmologiske konstant Λ ikke var genopstået i 1998.

Running vacuum in the Universe and the time variation of the fundamental constants of Nature

ABSTRACT: We compute the time variation of the fundamental constants (such as the ratio of the proton mass to the electron mass, the strong coupling constant, the fine structure constant and Newton’s constant) within the context of the so-called running vacuum models (RVM’s) of the cosmic evolution. Recently, compelling evidence has been provided showing that these models are able to fit the main cosmological data (SNIa+BAO+H(z)+LSS+BBN+CMB) significantly better than the concordance ΛCDM model. Specifically, the vacuum parameters of the RVM (i.e. those responsible for the dynamics of the vacuum energy) prove to be nonzero at a confidence level of 3σ. Here we use such remarkable status of the RVM’s to make definite predictions on the cosmic time variation of the fundamental constants. It turns out that the predicted variations are close to the present observational limits. Furthermore, we find that the time variation of the dark matter particles should be necessarily involved in the total mass variation of our Universe. A positive measurement of this kind of effects could be interpreted as strong support to the “micro and macro connection” (viz. the dynamical feedback between the evolution of the cosmological parameters and the time variation of the fundamental constants of the microscopic world), previously proposed by two of us (HF and JS).

 

Spektrum af koldeste brune dværg

Den nyligt opdagne brune dværg WISE 0855 giver os den første mulighed for direkte at studere et objekt uden for Solsystemet, som er næsten lige så kold som vore egne gaskæmper. Den traditionelle metode — spektroskopi i den nære infrarøde del af spektret — er imidlertid endnu ikke anvendelig, da WISE 0855 er for kold og lyssvag. Til at karakterisere denne extrasolare verden optog forfatterne et spektrum i båndet 4.5-5.2 um, det samme spektrale bånd, som længe er blevet brugt til at studere Jupiters termiske emission. Deres spektrum afslører forekomsten af vanddamp og skyer med en absorptionsprofil, som har en slående lighed med Jupiter. Spektret har en tilstrækkelig kvalitet til at tillade en undersøgelse af dynamiske og kemiske processer, som i lang tid er blevet studeret i Jupiters atmosfære.

The First Spectrum of the Coldest Brown Dwarf

ABSTRACT: The recently discovered brown dwarf WISE 0855 presents our first opportunity to directly study an object outside the Solar System that is nearly as cold as our own gas giant planets. However the traditional methodology for characterizing brown dwarfs—near infrared spectroscopy—is not currently feasible as WISE 0855 is too cold and faint. To characterize this frozen extrasolar world we obtained a 4.5-5.2 μm spectrum, the same bandpass long used to study Jupiter’s deep thermal emission. Our spectrum reveals the presence of atmospheric water vapor and clouds, with an absorption profile that is strikingly similar to Jupiter. The spectrum is high enough quality to allow the investigation of dynamical and chemical processes that have long been studied in Jupiter’s atmosphere, but now on an extrasolar world.

 

To einsteinringe tester mørk energi

Der er vel Erik Linder gør opmærksom på, at en gravitationslinses opsplitning af lysstrålen fra 2 fjernere objekter kan anvendes til at teste mørk energi. Opsplitningen sker, hvis synslinien til objektet falder inden for einsteinringen (se min nylige blog om en nyopdaget einsteinring). Nu er det uheldigvis ret usandsynligt, at 2 baggrundsgalakser befinder sig lige på retningen til centrum af gravitationslinsen. Det er meget heldigt, at vinkelafstanden mellem de 2 billeder (hvis linsen er rotationssymmetrisk) er lig einsteinringens diameter. De sande retninger til de 2 objekter skal blot falde indenfor einsteinringen, så sandsynligheden er ikke helt så umulig. Linders ide er, at anvende forholdet mellem de to einsteinradier. Både linsens masse og Hubbles konstant, H0, kan bortforkortes ved divisionen. Formlen for einsteinradius for objektet ‘o’ er

ER(o) = K⋅Dlo/Do

Do er afstanden til objektet på lysudsendelsestidspunktet. Dlo er afstanden mellem linsen og objektet til lysudsendelsestidspunktet. K er en faktor bestemt af linsens masse. Linsen har rødforskydningen z, det nærmeste baggrundsobjekt har rødforskydningen z1 og det fjerneste objekt har rødforskydningen z2. Heraf fås for de to objekter

ER(z1) = K⋅(r(z1) – r(z))/r(z1),  ER(z2) = K⋅(r(z2) – r(z))/r(z2)

r(z), r(z1) og r(z2) er de medfølgende afstandskoordinater for linsen, det nærmeste objekt og det fjerneste objekt. Jeg følger nu Linder og tager forholdet mellem ER(z1) og ER(z2):

β(z,z1,z2) = [(r(z1)-r(z))/(r(z2)-r(z))]⋅[r(z2)/r(z1)]

Udviklingen af Hubbles parameter er givet ved H(a) = H0⋅E(a) med E(1)=1. Hubbles parameter er defineret som H(a)=(da/dt)/a, dt=da/(H0⋅a⋅E(a)). Ligningen for en indadkommende lysstråle er c⋅dt = -a(t)dr, så

dr = -(c/H0)da/(E(a)a2)

Afstanden r aftager, når a vokser. Man anvender ofte rødforskydning z i stedet for a, idet 1+z = a⁻¹, så differentiation giver dz = -(1/a2)da. Hvis jeg anvender z i stedet for a som uafhængig variabel får jeg

dr = (c/H0)dz/E(z)

Man ser umiddelbart, at (c/H0) bortforkortes ved division af 2 r-koordinater. Med ∫z1z2dz mener jeg integralet fra z1 til z2, så

r(z) = (c/H0)∫0zdz/E(z)

Memærk, at differensen r(z1)-r(z) er givet ved

r(z1) – r(z) = (c/H0)∫zz1dz/E(z)

Dette betyder, at β(z,z1,z2) kan skrives som forhold mellem integraler:

β(z,z1,z2) = [∫zz1dz/E(z)/∫zz2dz/E(z)]⋅[∫0z2dz/E(z)/∫0z1dz/E(z)]

Vi har for LCDM at E2(z) = OmegaM⋅(1+z)3 + OmegaL. Eric Linder foreslår, at man for tilstandsparameteren w (P = w⋅rho⋅c2) kan anvende udtrykket

w(a) = w0 + wa⋅(1-a) = w0 + wa⋅z/(1+z)

Linder finder dette udtryk for E2(z), hvor w0 og wa er frie parametre:

E2(z)=OmegaM(1+z)3+OmegaDE(1+z)3(1+w0+wa)⋅e-3wa⋅z/(1+z)

Denne gennemregning viser, at man ved målinger af forholdet mellem radierne for en dobbelt einsteinring, nemlig β(z,z1,z2), kan afgøre, om den mørke energi (det sidste led i ovenstående udtryk) er konstant eller, eller om den varierer med ekspansionsfaktoren.

 

Ny græse for neutrinoernes masse

Elena Giusarma og medforfattere har foretaget en detaljeret analyse af Planck satellittens målinger af den kosmiske mikrobølgebaggrund (CMB) kombineret med rødforskydningsmålinger for massive galakser i the Baryon Oscillation Spectroscopic Survey (BOSS) for at bestemme en øvre grænse for de tre neutrinotypers massesum mν. De finder så lav en grænse, at den mindst massive neutrino effektivt må være masseløs. Jeg henviser i denne forbindelse til min blog “Forsinkelse af partikel i forhold til gravitationsbølge”, hvor jeg forklarer, hvordan målinger af neutrino-oscillationer tillader 2 forskellige massehierarkier (masserækkefølger). Hvis man sætter den mindste masse til 0, giver det normale hierarki:

(a) m1 = 0 eV, m2 = 0.0087 eV, m3 = 0.0496 eV og mν = 0.0582 eV

Det inverterede hierarki giver masserne:

(b) m3 = 0 eV, m2 = m3 = 0.0491 eV og mν = 0.0982 eV

(a) svarer til, at al massen stort set er i 1 neutrinotype. (b) svarer til, at al massen deles mellem 2 neutrinotyper. Den tredie mulighed er, at den samlede masse deles mellem alle 3 neutrinotyper. Forfatterne har anvendt kosmologiske modeller med 1, 2 og 3 massive neutrinoer. Forfatterne giver dette korte sammendrag af de vigtigste resultater i min frie oversættelse, som forsøger at undgå alt for tekniske udtryk.

De nyeste Planck-målinger af temperaturfluktuationer over alle vinkelskalaer og polarisationsfluktuationer over store vinkelskalaer kombineres med det fulde BOSS-datasæt bestående af rødforskydninger for 264283 massive galakser, samt målinger af baryoniske lydsvingninger (BAO) i flere forskellige spektroskopiske opmålinger af massive galakser (massive galaksers fordeling i rummet har et aftryk fra de samme stående lydbølger, som også måles i temperaturfluktuationerne). Disse data giver en øvre massegrænse for 3 neutrinoer på  mν < 0.183 eV med 95% tiltro. Dette er en af litteraturens til dato tætteste massegrænser, hvis man anvender de samme datasæt. De selv samme datakombinationer er i stand til at sætte en øvre grænse for mν0.0968 eV med ~70% tiltro, en værdi, som svarer til den minimale mν for det inverterede masse-hierarki. Hvis polarisationsfluktuationer over små vinkelskalaer også medtages i analysen strammes den øvre grænse til mν < 0.176 eV med 95% tiltro. Yderligere forbedringer opnås ved at inkludere den nyeste måling af Hubbles konstant, H0, og antage en enkelt massiv neutrino. Kosmologiske data begynder at blive følsomme over for neutrinomassernes rækkefølge. Hubbles konstant og den optiske dybde for spredning på frie elektroner frigivet ved reionisation af gassen spiller en vigtig rolle ved fastsættelsen af kosmologiske grænser for mν.

De to største problemer med fastsættelse af massegrænser for neutrinoer er (a) Plancks målinger af polarisationsfluktuationer over små vinkelskalaer er påvirket af systematiske fejl på grund af ufuldstændig fratrækning af et forgrundsbidrag fra Mælkevejen og (b) der er en uforklaret forskel mellem lokale målinger af Hubbles konstant, H0, og den værdi, som Plancks målinger af temperaturfluktuationerne medfører. Det er derfor nødvendigt som udgangspunkt at antage en forhåndsværdi for H0.

Forfatterne har derfor først fundet grænser for mν helt uden anvendelse af Plancks polarisationsmålinger for små vinkelskalaer. Dernæst findes de samme parametre med alle Plancks polarisationsmålinger inkluderet.

Øvre grænse for i eV med 95% tiltro, den optiske dybde tau og Hubbles konstant H0 i km/s/Mpc for forskellige kombinationer af kosmologiske datasæt. Den første, anden og tredie søjle viser resultaternefor 1, 2 og 3 massive neutrinotilstande. "The base case" refererer til kombinationen af Plancks temperaturmålinger og BOSS-data.
Tabel 1. Øvre grænse for massesummen  i eV med 95% tiltro, den optiske dybde tau og Hubbles konstant H0 i km/s/Mpc for forskellige kombinationer af kosmologiske datasæt. Den første, anden og tredie søjle viser resultaterne for 1, 2 og 3 massive neutrinotilstande. “The base case” refererer til kombinationen af Plancks temperaturmålinger med BOSS-rødforskydninger.
Tebel 2. Som i Tabel 1, men for "basepol" tilfældet, som refererer til kombinationen af alle Plancks målinger af temperatur- og polarisationsfluktuationer kombineret med BOSS-rødforskydninger.
Tebel 2. Som i Tabel 1, men for “basepol” tilfældet, som refererer til kombinationen af alle Plancks målinger af temperatur- og polarisationsfluktuationer kombineret med BOSS-rødforskydninger.

H070p6, H072p5 og H073p02 angiver de forhåndsantagne H0-værdier H0=70.6, H0=72.5 og H0=73.02 (km/s/Mpc).

On the improvement of cosmological neutrino mass bounds

ABSTRACT: The most recent measurements of the temperature and low-multipole polarization anisotropies of the Cosmic Microwave Background (CMB) from the Planck satellite, when combined with galaxy clustering data from the Baryon Oscillation Spectroscopic Survey (BOSS) in the form of the full shape of the power spectrum, and with Baryon Acoustic Oscillation measurements, provide a 95% confidence level (CL) upper bound on the sum of the three active neutrinos mν<0.183 eV, among the tightest neutrino mass bounds in the literature, to date, when the same datasets are taken into account. This very same data combination is able to set, at 70% CL, an upper limit on mν of 0.0968 eV, a value that approximately corresponds to the minimal mass expected in the inverted neutrino mass hierarchy scenario. If high-multipole polarization data from Planck is also considered, the 95% CL upper bound is tightened to mν<0.176 eV. Further improvements are obtained by considering recent measurements of the Hubble parameter. These limits are obtained assuming a specific non-degenerate neutrino mass spectrum; they slightly worsen when considering other degenerate neutrino mass schemes. Current cosmological data, therefore, start to be mildly sensitive to the neutrino mass ordering. Low-redshift quantities, such as the Hubble constant or the reionization optical depth, play a very important role when setting the neutrino mass constraints. We also comment on the eventual shifts in the cosmological bounds on mν when possible variations in the former two quantities are addressed.

 

Neptun-planet med Jord-massefylde

Osborn og medforfattere rapporterer om opdagelsen af exoplaneten EPIC212521166-b baseret på K2(Keplers K2-mission)-fotometri. Den kredser omkring en gammel, metalfattig K3-dværgstjerne med perioden 13.8637d. En fælles analyse af K2-fotometri og præcise radialhastigheder fra HARPS-spektrografen afslører, at den har en radius på 2.6±0.1R og en masse på 18.3±2.8M, hvilket gør den til den hidtil mest massive planet med en radius mindre end Neptuns. Når man tager højde for kompression, passer den jordlignende massetæthed bedst med en hydrogenatmosfære på 0.2M over en 18M jordlignende kerne, skønt planeten også kan have et betydeligt indhold af vand. Det er usandsynligt, at planeten på trods af den korte afstand til stjernen, 0.1 AU, er blevet væsentligt påvirket af ekstrem UV-fordampning eller tidevandsfriktion, selv når man tager stjernens høje alder, 8±3 Gyr, i betragtning. Planeten er sandsynligvis vandret gennem gasskiven til dens nuværende position. Hvordan den har undgået at få en tyk hydrogen-atmosfære er en gåde. EPIC-1166-b er med en V-magnitude på 11.9 særdeles velegnet til opfølgende observationer, hvilket gør det til et sjældent og ekstremt vigtigt planetsystem.

EPIC212521166 b: a Neptune-mass planet with Earth-like density

ABSTRACT: We report the discovery of the exoplanet EPIC212521166 b from K2 (Keplers K2 mission) photometry orbiting on a 13.8637d period around an old, metal-poor K3 dwarf star. A joint analysis of K2 photometry and high-precision radial velocities from HARPS reveals it to have a radius of 2.6±0.1R and a mass of 18.3±2.8M, making it the most massive planet with a sub-Neptune radius (i.e. mini-Neptune) yet found. When accounting for compression, the resulting Earth-like density is best fit by a 0.2M hydrogen atmosphere over an 18M Earth-like core, although the planet could also have significant water content. At 0.1AU, even taking into account the old stellar age of 8±3 Gyr, the planet is unlikely to have been significantly affected by EUV evaporation or tides. However the planet likely disc-migrated to its current position making the lack of a thick H2 atmosphere puzzling. With a V-band magnitude of 11.9 it is particularly amenable to follow-up observations, making EPIC-1166 b a rare and extremely important planetary system.