Baryoniske lydsvingninger forklaret

Fremtiden vil uden tvivl bringe mange nye målinger af baryoniske lydsvingninger (BAO) i galaksernes fordeling. Disse er vigtige, da de kan anvendes til at teste kosmologiske modeller med særlig henblik på den mystiske mørke energi. Baryoner er en fælles betegnelse for atomkerner, i dette tilfælde hydrogen- og heliumkerner. Stoffet i det tidlige univers er ioniseret, så man har et plasma bestående af atomkerner, frie elektroner og fotoner. Fotonerne er stærkt koblede til elektronerne, som igen er elektriskt koblede til atomkernerne. Dette betyder, at lydbølger kan forplante sig gennem plasmaet. Universet opfører sig som en orgelpipe med en grundtone, som er bestemt af tiden mellem Big-Bang og fotonernes sidste spredning på elektroner, når disse rekombinerer med atomkernerne og danner neutrale atomer. Lydbølgerne observeres som fluktuationer i Universets fotosfære i form af rumlige korrelationer med en karakteristisk længde svarende til lydhorisonten, som er den længde, en lydbølge har bevæget sig siden Big-Bang. Planck-konsortiet har beregnet længden til at være rd = 147.3±0.3 Mpc i medfølgende koordinater ved rødforskydningen zd = 1059.6±0.3. rd er specifikt lydhorisonten ved slutningen af den såkaldte baryonske “drag”-æra lige efter fotonernes sidste spredning på elektroner. Beregningen forudsætter, at Universets ekspansion er bestemt af energitætheden for fotoner og de 3 kendte neutrinotyper. Denne længde kan måles som en top i powerspektret for temperaturfluktuationerne i den kosmiske mikrobølgebaggrundsstråling (CMB) fra Universets fotosfære.

Lydhorisonten kan imidlertid også måles som en korrelation i galaksernes fordeling, idet der er en lille oversandsynlighed for at finde 2 galakser med afstanden rd i medfølgende koordinater. Den karakteristiske korrelationsafstand ekspanderer altså med universets skalafaktor a(t), så den forbliver konstant i medfølgende koordinater. Korrelationen har en længde og en retning, som danner en kugleskal i rummet med radius rd, hvis man i hovedet placerer det ene endepunkt i samme punkt i rummet. Der er tale om et pædagogisk værktøj, da korrelationsafstanden ikke befinder sig et bestemt sted i rummet, men kun i en bestemt afstand fra os. Man kan måle kugleskallens vinkelradius θd på himmelkuglen. Disse målinger kan anvendes til at bestemme hubblekonstanten H0.

Rumtidens geometri for et fladt rum er givet ved

ds2 = c2dt2 – a2(t)dr2 (jeg ser kun på den radiale retning)

ds er rumtidsintervallet. t er den kosmiske tid, hvor t0 er det nuværende tidspunkt. a(t) er skalafaktoren og a(t0)≡1. r er den medfølgende radiale afstand. En lysimpuls radiale bevægelse må opfylde betingelsen ds = 0, så lysets radiale bevægelse findes ud fra ligningen:

c⋅dt = -a(t)dr (svarende til en indadgående impuls)

Jeg benytter mig af definitionen på hubbleparameteren H = a-1da/dt og af a(z) = (1+z)-1, hvor z er rødforskydningen:

dr = -c⋅dt/a(t) = -c⋅da/(a2H) = c⋅dz/(a2H(1+z)2) = (c/H(z))dz

Man indfører sædvanligvis en normeret hubbleparameter E(z) med E(0)=1, så vi får H(z) = H0E(z), samt hubbleafstanden defineret som dH=c/H0. En lysimpuls radiale bevægelse opfylder derfor ligningen:

dr = dHdz/E(z)

Den medfølgende afstand til et objekt med rødforskydning z er givet ved

r(z) = dHD(z), hvor D(z) = ∫0zdx/E(x)

Beregning af D(z) forudsætter kendskab til forløbet af E(z), som kan findes ved anvendelse af Friedmanns ligning for ΛCDM-modellen:

E2(z) = Ωr(1+z)4m(1+z)3Λ

Ωr, Ωm og ΩΛ er tæthedsparametrene for stråling, mørk+baryonisk stof og Λ. For et fladt rum gælder ΩrmΛ=1.

Hvordan knytter man den målte korrelationsvinkel θd på himmelkuglen sammen med korrelationsafstanden rd i medfølgende koordinater? Lad os antage, at de undersøgte galakser har middelrødforskydningen z. Sammenhængen er simpel, hvis vinklen θd ikke er alt for stor:

rd = θdr(z) = (c/H0dD(z)

Jeg flytter nu H0 over på venstre side af lighedstegnet, så jeg får

H0rd = c⋅θdD(z)

Vi ser, at en BAO-måling bestemmer produktet H0rd i km/s.

Den lokale bestemmelse af H0 er signifikant større end den globale værdi udledt ud fra flere forskellige BAO-målinger. Spørgsmålet er så, om forslellen skyldes en drastisk udvikling af mørk energi ved lave rødforskydninger, eller om lydhorisonten rd er for stor. Det er ikke sikkert, at en varierende tæthed af mørk energi for små z-værdier kan forene de to værdier af H0, da funktionen D(z) er lig integralet af 1/E(z) fra 0 til z. D(z) for store z-værdier er også afhængig af E(z) ved små z-værdier.

Alt håb er dog ikke ude. Jeg har hidtil kun anvendt korrelationslængden vinkelret på synsliniens retning. Man kan også benytte sig af, at korrelationslængden i synsliniens retning skal have den samme værdi som vinkelret på synslinien. Korrelationslængden i synsliniens retning angives som en rødforskydningsforskel zd. Jeg antager, at zd er meget mindre end z. Korrelationslængden vinkelret på synsliniens retning er givet ved

rd = dHD(zd

Korrelationslængden i synsliniens retning er givet ved

rd = dH(dD/dz)(z)zd = dHzd/E(z), idet dD/dz = 1/E(z).

Ved at sætte de to højresider lig hinanden fås følgende sammenhæng mellem zd og θd:

zd(z)/θd(z) = E(z)∫0zdz/E(z)

Man kan i princippet teste mørk energi ved at måle θd og zd for mange rødforskydningsintervaller. Denne metode er helt uafhængig af H0. BAO-målinger er kommet for at blive. Se f.eks. CHIME:

The Canadian Hydrogen Intensity Mapping Experiment

CHIME is a novel radio telescope consisting of cylindrical reflectors roughly the size and shape of snowboarding half-pipes with an array of radio recievers along the focus. There are no moving parts; CHIME will measure over half the sky each day as the Earth turns.

CHIME will map the distribution of neutral Hydrogen over the redshift range from 0.8 to 2.5. These data will be used to produce a map of cosmic structure over the largest volume of the universe ever observed, with enough spatial resolution to discern the “baryon acoustic oscillations” that were imprinted on cosmic structure at early times. This three-dimensional map will enable cosmologists to better discern the cause of the Universe’s accelerating expansion.

 

Kosmografi med dz/dt og d²z/dt²

Kosmografi er kosmologi uden anvendelse af Einsteins feltligninger. Kosmografien anvender en rent kinematisk beskrivelse af Universets ekspansion som funktion af den kosmiske tid t. Kosmografien kan ikke forudsige noget om den kosmiske skalafaktor a(t), men den kan bruges til at udlede skalafaktorens historie uden anvendelse af Einsteins ligninger. Standardbetegnelsen i mekanik for de første 4 tidsafledede af positionen er hastighedacceleration, jerk og snap. I en kosmologisk sammenhæng defineres Hubble, deceleration, jerk og snap som:

H(t) = +a-1(da/dt)
q(t) = -a-1(d2a/dt2)H-2
j(t) = +a-1(d3a/dt3)H-3
s(t) = +a-1(d4a/dt4)H-4

q(t), j(t) og s(t) er dimensionsløse. Jeg definerer x ≡ H0(t-t0), så skalafaktoren kan skrives som en taylor-udvikling:

a(x) = a0[1 + x – (1/2)q0x2 + (1/3!)j0x3 + (1/4!)s0x4 + …]

Eksisterende kosmologiske observationer kortlægger begivenheder på fortidens lyskegle i Universets rumtid, som svarer til begivenheder på en konvergerende kugleskal af lys, som vi observerer nu. Populært sagt: Vi observerer fortiden. Sædvanlige astrofysiske observationer er i stand til at bestemme H0 og q0, men ikke j0. Det ville være et kæmpefremskridt, hvis man kunne observere rødforskydningens drift dz/dt for astrofysiske objekter. Artiklen nævner, at dette burde være muligt ved observationer af 21cm-linien over en tiårig periode. Artiklen undersøger betydningen af den 2. tidsafledede d2z/dt2 af et objekts rødforskydning for bestemmelsen af jerk parameteren j0. Artiklen udleder først den observerede rødforskydnings drift til at være

dz/dtobs = (1+z)Hobs – H(z)

Den dimensionsløse afledede af rødforskydningen, z, på det nuværende tidspunkt t0 bliver:

Z1(t0,z) ≡ (dz/dt0)/H0 = 1 + z – E(z), hvor H(z) ≡ H0E(z).

På tilsvarende måde finder forfatterne, at den dimensionsløse 2. afledede er givet ved

Z2(t0,z) ≡ (d2z/dt02)/H02 = (1 + q(z))E2(z)/(1+z) – E(z) – q0(1+z)

Den sidste ligning kan omskrives ved anvendelse af den generelle ligning
E(z)/E(z) = (1 + q(z))/(1 + z), hvor E ≡ dE/dz.

Z2(t0,z) = E(z)E(z) – E(z) – q0(1+z)

Forfatternes hovedformål med artiklen er at finde Z1(z) og Z2(z) udtrykt ved de kosmografiske parametre q0 og j0 for små værdier af rødforskydningen z. Dette gøres lettest ved at finde Z1(0) og Z2(0):

z1(0) = 1 – E(0)

z2(0) = E(0)E′′(0) + E(0)2 – E(0) – q0 = E′′(0) – (1 – E(0))E(0) – q0

Der gælder som allerede nævnt helt generelt, at
E(z)/E(z) = (q(z) + 1)/(1 + z), dvs E(0) = 1 + q0.
De 2 ligninger får derfor formen:

z1(0) = -q0

z2(0) = E′′(0) + q0(1 + q0) – q0 = E′′(0) + q02

Forfatterne finder i artiklen, at jerk parameteren er givet ved
j0 = E′′(0) + q02, så det endelige resultat bliver: z1(0) = -q0 og z2(0) = j0.

Jeg kan nu endelig nedskrive formlerne for dz/dt og d2z/dt2:

dz/dt = -H0q0z

d2z/dt2 = H02j0z

Vi ser at de kosmografiske parametre q0 og j0 er nært knyttede til rødforskydningens drift og driftsændring ved små rødforskydninger. Om man bliver i stand til at måle dritsændringen må tiden vise.

Real-time cosmography with redshift derivatives

ABSTRACT: The drift in the redshift of objects passively following the cosmological expansion has long been recognized as a key model-independent probe of cosmology. Here, we study the cosmological relevance of measurements of time or redshift derivatives of this drift, arguing that the combination of first and second redshift derivatives is a powerful test of the ΛCDM cosmological model. In particular, the latter can be obtained numerically from a set of measurements of the drift at different redshifts. We show that, in the low-redshift limit, a measurement of the derivative of the drift can provide a constraint on the jerk parameter, which is j=1 for flat ΛCDM, while generically j1 for other models. We emphasize that such a measurement is well within the reach of the ELT-HIRES and SKA Phase 2 array surveys.

 

Modeluafhængig test af Universet

Modeller for udvikling af Universets mørke energi antyder en modstrid mellem lokale målinger af H0 og ikke-lokale målinger af H0, også når man helt ser bort fra målingerne af den kosmiske mikrobølgebaggrundsstråling.

Model-independent test of the FLRW metric, the flatness of the Universe, and non-local measurement of H0

ABSTRACT: Using measurements of H(z) and dA(z) from the Baryon Oscillation Spectroscopic Survey (BOSS) DR12 and luminosity distances from the Joint Lightcurve Analysis (JLA) compilation of supernovae, we test the Friedmann–Lema\^itre–Robertson–Walker (FLRW) metric and the flatness of the Universe in a model-independent way at two redshifts, namely 0.32 and 0.57. We then combine these observables to measure H0 without any model assumption. Our measurement of H0rd=10075.23±269.20 km s1 is consistent with Planck constrains for the flat ΛCDM model. Assuming rd=147.10 Mpc, the fiducial value used in the BOSS analysis, we then derive H0=68.49±1.83 km s1 Mpc1, which is compatible with the expected value of H0 assuming the concordance model of cosmology, but possibly in slight tension with some local measurements. We also report that higher expansion history rates h(z) (among the possibilities) as well as lower-bound values of H0 result in better internal consistency among the independent data (H(z) and dA(z) from BAO at z=0.32 and z=0.57 and dL(z) from JLA) we used in this work. This can be interpreted as an interesting and independent support of Planck cosmology without using any cosmic microwave background data.

Findes der kun fantomenergi for z < 0.1?

Man taler ofte om den mørke energis tilstandsligning, EOS (Equation of State), defineret som forholdet mellem tryk, p, og energitæthed, ρ:

EOS ≡ w = p/ρ, hvor w = -1 svarer til den kosmologiske konstant.
Hvis w < -1 kaldes den mørke energi for fantomenergi.

For et fladt rum er Friedmanns ligning givet ved

H2(z) = (8πG/3)[ρr(0)(1+z)4m(0)(1+z)3de(z)], hvor

ρde(z) = ρde(0)exp{3∫0z[1+w(x)]dx/(1+x)}

ρr er energitæthed i stråling, ρm er energitæthed i baryoner og mørkt stof, og ρde er energitæthed i mørk energi.

Bestemmelsen af den globale hubblekonstant H0 ud fra målinger af den kosmiske mikrobølgebaggrund (CMB) og de baryoniske akustiske oscillationer (BAO) i massive galaksers rumlige fordeling afhænger kritisk af tilstandsligningens udvikling w(z) ved lave rødforskydninger. Huang & Wang har undersøgt 2 modeluahængige udviklinger af den mørke energi ved at antage konstante w-værdier for specifikke rødforskydningsintervaller:

w0.25w1.5CDM-modellen
w0.25w1.5CDM-modellen.
w0.1w1.5CDM-modellen.
w0.1w1.5CDM-modellen.

Begge modeller beskriver den mørke energis udvikling med 2 frie parametre. Bemærk: Den effektive rødforskydning for det nærmeste BAO-datasæt er zeff = 0.106. Den anden model er valgt, så den ikke indeholder BAO-data i intervallet 0 < z ≤ 0.1. Resultaterne for de 2 modeller vises grafisk i denne figur:

Konturplot af EOS ved z = 0 mod w1.5 for modellerne w0.1w1.5CDM og w0.25w1.5CDM.
Konturplot af EOS ved z = 0 mod w1.5 for modellerne w0.1w1.5CDM og w0.25w1.5CDM.

Al variation sker i intervallet 0 < z ≤ 0.1. Den sidste model reducerer drastisk χ2 med løsningen:

w(0 < z ≤ 0.1) = -1.96±0.51 og w(0.1 < z ≤ 1.5) = -1.01+0.09-0.08

Det er kun w(0 < z ≤ 0.1), som afviger med 2σ fra -1. Hvorfor skulle den mørke energi først begynde at udvikle sig så sent som z = 0.1? Hvorfor ses udviklingen kun tydeligt i et rødforskydningsinterval, som ikke har BAO-data? Dette forekommer ret suspekt.

How the Dark Energy Can Reconcile Planck with Local Determination of the Hubble Constant

ABSTRACT: We try to reconcile the tension between the local 2.4% determination of Hubble constant and its global determination by Planck CMB data and BAO data through modeling the dark energy variously. We find that the chi-square is significantly reduced by Δχ2=6.76 in the redshift-binned dark energy model where the 68% limits of the equation of state of dark energy read w(0z0.1)=1.958+0.5090.508, w(0.1<z1.5)=1.006+0.0920.082, and here w(z>1.5) is fixed to 1.

Soliton-kollision

Der er kommet endnu en artikel om simulering af ΨDM som et alternativ til CDM. Forfatterne antager, at det mørke stof består af ultra-lette skalare bosoner med massen m = 2.5 x 10-22 eV. Jeg minder om, at neutrinoernes masser til sammenligning er ~0.1 eV. Forfatterne antager desuden, at bosonernes hastigheder er urelativistiske, så deres skalare bølgefunktion ψ (en complex funktion af de 3 rumkoordinater) er en løsning til Schrödingers ligning:

iℏ∂ψ/∂t = -½(ℏ2/m)∇2ψ + m⋅Uψ,

hvor U er gravitationspotentialet, som findes ved anvendelse af Poissons ligning:

2U = 4πGρ,

hvor tætheden er givet ved normkvadratet på bølgefunktionen: ρ = |ψ|

En stationær løsning til disse to ligninger kaldes en newtonsk bosonstjerne. En sådan løsning kaldes også en soliton. Betegnelsen hentyder til, at bølgefunktionen ψ oscillerer som en lokaliseret enhed, idet ρ er uændret under bevægelsen. En soliton opfører sig som en partikel. Kosmologiske simuleringer baseret på en anvendelse af Schrödingers og Poissons ligninger i medfølgende koordinater viser, at der dannes mørke haloer med en solitonagtig kerne omgivet af dynamiske bølger. Det er på nuværende tidspunkt umuligt at lave en fuld kosmologisk simulering med den nødvendige opløsning. Forfatterne har derfor sat sig det mere overkommelige mål, at undersøge sammensmeltningen af to solitonagtige kerner med forskellige begyndelsesbetingelser.

Denne figur viser sammenstødet mellem to solitoner. ψ er i fase for det øverste sammenstød og i modfase for det nederste sammenstød.

soliton-Fig4

Forfatterne slutter med at simulere sammensmeltning af 13 haloer.

soliton-Fig7

Hvilken betydning får ΨDM mon for gravitationslinsning, hvis teorien skulle vise sig at være den korrekte?

Simulations of solitonic core mergers in ultra-light axion dark matter cosmologies

ABSTRACT: Using three-dimensional simulations, we study the dynamics and final structure of merging solitonic cores predicted to form in ultra-light axion dark matter halos. The classical, Newtonian equations of motion of a self-gravitating scalar field are described by the Schrödinger-Poisson equations. We investigate mergers of ground state (boson star) configurations with varying mass ratios, relative phases, orbital angular momenta and initial separation with the primary goal to understand the mass loss of the emerging core by gravitational cooling. Previous results showing that the final density profiles have solitonic cores and NFW-like tails are confirmed. In binary mergers, the final core mass does not depend on initial phase difference or angular momentum and only depends on mass ratio, total initial mass, and total energy of the system. For non-zero angular momenta, the otherwise spherical cores become rotating ellipsoids. The results for mergers of multiple cores are qualitatively identical.

Kosmologi og neutrinomasser

Cosmology and the neutrino mass ordering

ABSTRACT: We propose a simple method to quantify a possible exclusion of the inverted neutrino mass ordering from cosmological bounds on the sum of the neutrino masses. The method is based on Bayesian inference and allows for a calculation of the posterior odds of normal versus inverted ordering. We apply the method for a specific set of current data from Planck CMB data and large-scale structure surveys, providing an upper bound on the sum of neutrino masses of 0.14 eV at 95% CL. With this analysis we obtain posterior odds for normal versus inverted ordering of about 2:1. If cosmological data is combined with data from oscillation experiments the odds reduce to about 3:2. For an exclusion of the inverted ordering from cosmology at more than 95% CL, an accuracy of better than 0.02 eV is needed for the sum. We demonstrate that such a value could be reached with planned observations of large scale structure by analysing artificial mock data for a EUCLID-like survey.

 

GW151226: 22 solmasser binært sort hul

LIGO-samarbejdet rapporterer om observation af endnu et signal fra en gravitationsbølge frembragt ved sammensmeltningen af 2 stellare sorte huller.  Signalet, GW151226, blev observeret med LIGO den 26. december, 2015, kl 03:38:53 UTC. Signalet blev først opdaget online med et digitalt filter specielt beregnet på detektion af signalet fra en sammensmeltning af to sorte huller. Den efterfølgende analyse af signalet genfandt GW151226 med et signal/støj-forhold på 13 svarende til en konfidens på mere end 5 σ. Signalet befandt sig i LIGO-detektorens frekvensbånd i omtrent 1 s, idet frekvensen og amplituden voksede hen over 55 perioder fra 35 Hz til 450 Hz, hvor amplituden nåede en maksimal gravitationel deformation på (3.4+0.7−0.9)×10−22. De oprindelige sorte hullers masser blev fundet til at være (14.2+8.3−3.7)M⊙ og (7.5+2.3−2.3)M⊙. Det resulterende sorte huls masse blev fundet til at være (20.8+6.1−1.7)M⊙. Forfatterne finder, at i det mindste et af de sorte huller havde et spin større end 0.2. Kilden befinder sig i luminositetsafstanden (440+180−190)Mpc svarende til en rødforskydning på 0.09+0.03−0.04. Alle usikkerheder svarer til et konfidensinterval på 90%. Denne anden observation af en gravitationsbølge bidrager til at forbedre båndene på stjernepopulationer og afvigelser fra den generelle relativitetsteori.

GW151226: Observation of Gravitational Waves from a 22-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence

ABSTRACT: We report the observation of a gravitational-wave signal produced by the coalescence of two stellar-mass black holes. The signal, GW151226, was observed by the twin detectors of the Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory (LIGO) on December 26, 2015 at 03:38:53 UTC. The signal was initially identified within 70 s by an online matched-filter search targeting binary coalescences. Subsequent off-line analyses recovered GW151226 with a network signal-to-noise ratio of 13 and a significance greater than 5 σ. The signal persisted in the LIGO frequency band for approximately 1 s, increasing in frequency and amplitude over about 55 cycles from 35 to 450 Hz, and reached a peak gravitational strain of 3.4+0.70.9×1022. The inferred source-frame initial black hole masses are 14.2+8.33.7M and 7.5+2.32.3M and the final black hole mass is 20.8+6.11.7M. We find that at least one of the component black holes has spin greater than 0.2. This source is located at a luminosity distance of 440+180190 Mpc corresponding to a redshift 0.09+0.030.04. All uncertainties define a 90 % credible interval. This second gravitational-wave observation provides improved constraints on stellar populations and on deviations from general relativity.

Fotoelektriske rødforskydninger

Jeg skal hermed rapportere om nogle fotoelektriske observationer af fjerne galaksehobe, som blev startet af William A. Baum i 1955. Formålet var at bestemme fotometriske rødforskydninger og bolometriske magnituder for elliptiske galakser ved anvendelse af fotoelektrisk fotontælling. Det var på dette tidspunkt umuligt at udføre en spektrografisk rødforskydningsbestemmelse ud over z = 0.2, hvis galaksen ikke indeholdt en emissionslinie. Baum anvendte disse 9 spektrale bånd defineret ved 2 fotomultiplikatorer i kombination med glas- og interferensfiltre:

De anvendte spektrale bånd.
De anvendte spektrale bånd.

Den følgende figur viser den spektrale energifordeling for elliptiske galakser i Virgo-hoben:

Den spektrale energifordeling angivet som en middelværdi for 6 klare elliptiske galakser i Virgo-hoben. Den vertikale skala angiver den relative energi per bølgelængde udtrykt på en magnitudeskala.
Den spektrale energifordeling angivet som en middelværdi for 6 klare elliptiske galakser i Virgo-hoben. Den vertikale skala angiver den relative energi per bølgelængde udtrykt på en magnitudeskala.

Den følgende figur viser Baums fotoelektriske observationer af hoben CL 1410+5224, som var fundet af Minkowski på positionen af radiokilden 3C295. Punkterne er middelværdier for to galakser udvalgt på basis en foreløbig fotografisk fotometri. Galakser med mere blå farver end gennemsnittet for hoben blev omhyggeligt undgået. Der er ingen tvivl om, at disse data repræsenterer hoben. Baum fandt på denne måde rødforskydningen z = 0.44∓0.03. Minkowski havde fundet en enkelt kraftig emissionslinie ved λ5448 i en af de mere blå galakser, som sandsynligvis er radiogalaksen. Hvis man antager, at der er tale om linien [O II] 3727, udledes en rødforskydning på z = 0.46.

Den spektrale energifordeling for to eliptiske galakser i den hob, som indeholder radiokilden 3C 295. Disse resultater giver en rødforskydning på 0.44+-0.03.
Den spektrale energifordeling for to eliptiske galakser i en hob, som indeholder radiokilden 3C 295. Disse resultater giver en rødforskydning på z =  0.44+-0.03.

Den spektroskopiske bestemmelse af radiogalaksens rødforskydning bekræfter pålideligheden af den fotoelektriske metode til bestemmelsen af rødforskydninger for fjerne elliptiske galakser. Disse resultater blev offentliggjort for 54 år siden.

Photoelectric Magnitudes and Red-Shifts

Kan det virkelig passe?

 

Kan det virkelig passe, at den kosmologiske rødforskydning skyldes rummets ekspansion. Rummet er i Einsteins teorier en 3D-flade defineret ved, at koordinattiden har en bestemt værdi. Det er efterhånden blevet klart, at rummet er fladt. Ideen bag Einsteins generelle relativitetsteori er, at alle koordinatsystemer kan anvendes til at beregne observerbare størrelser. Problemer: Hvordan kan et fladt rum uden krumning ekspandere? Hvordan kan et koordinatsystem være årsag til en observerbar størrelse, nemlig rødforskydningen?

Lad mig straks slå fast: Man har oversolgt det pædagogiske begreb: det ekspanderende rum. Det betyder igen, at man af samme pædagogiske grunde har måttet postulere 3 forskellige slags rødforskydninger: a) Doppler rødforskydning i den specielle relativitetsteori, b) gravitationsrødforskydning i et gravitationsfelt og c) den kosmologiske rødforskydning. I alle 3 tilfælde måles en fotons energi af 2 forskellige observatører: en ved udsendelse af fotonen og en anden ved modtagelse af fotonen. Det pædagogiske problem opstår ved, at observatørens måling af fotonens energi opnås ved at finde skalarproduktet af observatørens 4-vektor med fotonens 4-vektor. Man skal ikke alene introducere 4-vektorer, men også en rumtidskurves hastighedsvektor i tangentrummet med dertilhørende skalarprodukt.

Jeg mener dog, at man kan anvende en mellemvej ved at sammenligne tidsintervallet mellem udsendelsen og modtagelsen af 2 korte lysimpulser målt af de 2 observatører. Jeg kommer ikke uden om at indføre geometrien for den specielle relativitetsteori (ingen gravitation), som er givet ved linieelementet:

ds2 = dt2 – dx2

Jeg sætter lyshastighede til 1; jeg måler både tid og rum i samme enhed. Lyshastighede blev defineret som et helt antal m/s for 40 år siden. Jeg ser kun på afstande i den rumlige x-akses retning. t er tidskoordinaten. ds er rumtidsafstanden mellem 2 begivenheder med tidsforskel dt og stedforskel dx. Man ser ligheden med en retvinklet trekant på et stykke papir, hvor der gælder ds2 = dx2 + dy2. Den specielle relativitetsteoris egenskaber er bestemt af dette ‘-‘tegn i afstandsformlen. Den specielle relativitetsteori postulerer, at et ur, der bevæger sig langs en kurve i rumtiden, viser en egentid τ, som er lig kurvelængden s. Jeg vil nu nedskrive verdenslinier for de 2 observatører A og B:

(tA,xA) = τ(cosh θA,sinh θA)
(tB,xB) = τ(cosh θB,sinh θB)

hvor cosh θ = ½(eθ+e) og sinh θ = ½(eθ-e)
Der gælder cosh²θ – sinh²θ = 1. Jeg finder dernæst koordinathastighederne for de 2 verdenslinier A og B:

(utA,uxA)≡(dtA/dτ,dxA/dτ) = (cosh θA,sinh θA)
(utB,uxB)≡(dtB/dτ,dxB/dτ) = (cosh θB,sinh θB)

Om koordinathastighederne gælder

(utA)2 – (uxA)2 = 1
(utB)2 – (uxB)2 = 1

De “rigtige” hastigheder, dx/dt, er givet ved

vA=dxA/dtA=uxA/utA=tanh θA
vB=dxB/dtB=uxB/utB=tanh θB

Hastighederne er konstante, så de 2 verdenslinier A og B er rette linier i rumtiden. Længden fra (0,0) til (tA,xA) og (tB,xB) er givet ved

t2A – x2A = τ2A
t2B – x2B = τ2B

Liniestykkernes længder svarer til urenes gang. Der udsendes en lysimpuls fra A mod B. Uret A viser τA ved udsendelsen, og uret B viser τB ved modtagelsen af impulsen. Lyshastigheden er 1, så der gælder

xB – xA = tB – tA
Jeg samler koordinater for A på venstresiden og koordinater for B på højresiden

tA – xA = tB – xB

Jeg indsætter koordinaterne fra definitionen af de 2 verdenslinier A og B:

τA(cosh θA-sinh θA) = τB(cosh θB-sinh θB)

Ud fra definitionen af cosh og sinh fås cosh θ – sinh θ = eθ, så ovenstående ligning får den simple form

τBeB = τAeA

Lidt omskrivning giver

τB = τAeθBA

θA og θB er konstanter for de 2 verdenslinier, så forholdet mellem tidsintervallerne ΔτB og ΔτA bliver

1 + z = ΔτB/ΔτA = eθBA

hvor z er rødforskydningen. Jeg mangler dog et passende udtryk for højresiden. Jeg vil derfor lave en transformation af linieelementet fra koordinaterne (t,x) til koordinaterne (τ,θ). ds² kan også udtrykkes ved dτ2 og dθ2:

ds2 = dτ2 – τ22

Linieelementet langs en lysstråle er ds = 0, svarende til dτ = τdθ eller dθ = dτ/τ. Ved at integrere fra A til B fås:

θB – θA = ln (τBA)

Dette udtryk indsættes i ligningen for rødforskydningen 1+z og jeg finder det endelige udtryk

1 + z = τBA

Vi ser at τ optræder som ekspansionsparameter a(τ) = τ.

Man kan finde det sædvanlige udtryk for rødforskydning i den specielle relativitetsteori ved at benytte sammenhængen mellem θ og hastigheden v. Jeg ser intet tegn på, at rummets ekspansion er årsagen til rødforskydningen; men tidsforlængelsen er proportional med rummets skalafaktor, når linieelementet er angivet i medfølgende koordinater.

Lad mig til slut finde udtrykket for tidsforlængelsen i den specielle relativitetsteori. Jeg vil dog først vælge observatøren A som origo for et inertialsystem. Dette betyder, at θ = 0. Hastigheden af observatøren B i forhold til A er (som vist ovenfor) v = tanh θB. Jeg får brug for den inverse funktion tanh-1(x) = ½ln[(1+x)/(1-x)] til den hyperbolske tangens. Dette giver en formel for tidsforlængelsen givet ved hastigheden v af B i forhold til A:

1+z = ΔτB/ΔτA = eθB = [(1+v)/(1-v)]1/2

Dette er den relativistiske Doppler effekt i den specielle relativitetsteori, hvor hastigheder angives i forhold til et inertialsystem. Et inertialsystem består af stationære observatører, som hver især er udstyret med et ur. Systemets ure synkroniseres ved udveksling af lysimpulser, idet vi med Einstein antager, at lyshastigheden altid er den samme. Det 3-dimensionale rum består af alle de begivenheder, hvor et lokalt ur viser den samme tid.

I en kosmologi med skalafaktoren a(τ) = τ er formlen for den kosmologiske tidsforlængelse givet ved

1 + z = τBA

Det 3-dimensionale rum i kosmologien er defineret helt anderledes. De fundamentale observatørers ure er synkroniserede til nul ved Big Bang. Rummet består også i dette tilfælde af alle begivenheder, hvor et lokalt ur viser den samme tid. Den helt store forskel er imidlertid, at samtidighed er forskellig i de to systemer. Rummet i et inertialsystem er vidt forskellig fra rummet i et kosmologisk system. Det er endvidere umuligt at indføre stationære observatører i en rumtid med masse, så den specielle relativitetsteori kan slet ikke anvendes til at beskrive et univers med masse.

De to ovenstående formler er begge udtryk for en Doppler effekt, da tidsforlængelsen skyldes, at to observatører fjerner sig fra hinanden. Men man må aldrig anvende formlen fra den specielle relativitetsteori, da denne teoris fundamentale observatører er stationære.

Man kan forstå formlen ΔτB/ΔτA = τBA for tidsforlængelsen for en observatør B, som bevæger sig bort fra observatør A med en konstant hastighed, på en simpel måde. A udsender lysimpulser mod B med et fast tidsinterval ΔτA, som modtages af B med det længere faste tidsinterval ΔτB som følge af Doppler-effekten. A udsender n impulser og B modtager de samme n impulser. Antallet af impulser findes af begge parter ved at dividere den forløbne tid på det lokale ur med tidsintervallets længde:

n = τA/ΔτA = τB/ΔτB

Heraf fås umiddelbart formlen for rødforskydning og tidsforlængelse. Jeg viste ovenfor, at geometrien for den specielle relativitetsteoris rumtid kan udtrykkes ved koordinaterne (τ,θ) i stedet for (t,x):

ds2 = dτ2 – τ22

Dette er geometrien for et ekspanderende univers med skalafaktor a(τ)=τ. Jeg har hermed vist, at tidsintervallet forlænges med skalafaktoren i dette her specielle univers, som hverken accelererer eller decelererer. Men hvordan viser jeg, at det gælder mere generelt for geometrien:

ds2 = dτ2 – a2(τ)dτ2

Tiden τ måles af urer, som følger med de fundamentale observatører. θ er en medfølgende koordinat, som har en bestemt værdi for den enkelte observatør, så observatørerne er stationære i dette koordinatsystem. Det ville være særdeles ønskværdigt, om lysimpulser kunne få hastigheden ∓1. Dette er umuligt, hvis tiden måles med et fysisk ur. Man kan imidlertid introducere den konforme tidskoordinat σ ved dτ = a(τ)dσ, så rumtiden får linielementet:

ds2 = a2(τ)[dσ2-dθ2]

For en lysimpuls bevægelse gælder ds = 0, så koordinathastigheden blive dθ/dσ = ∓1 som ønsket. Da de to observatører A og B har en konstant koordinatafstand og lystes koordinathastighed er 1, vil det konforme tidsinterval ΔσA mellem udsendelse af to impulser fra A være lig med det konforme tidselement ΔσB mellem modtagelsen af de to impulser ved B. Jeg får ved anvendelse af definitionen dτ = a(τ)dσ, at der gælder:

ΔτA/a(τA) = ΔτB/a(τB)

Dette medfører, at tidsforlængelsen/rødforskydningen er givet ved

(1+z) = ΔτB/ΔτA = a(τB)/a(τA)

Dette er den famøse formel for “strækning” af en fotons bølgelængde. Jeg har vist, at formlen for et univers med a(τ) = τ uden for enhver tvivl er udtryk for en Doppler-effekt. Kan en fuldt lovlig transformation af den fysiske tid τ til den konforme tid σ ændre tidsforlængelsen til noget andet end en Doppler-effekt?

Grunden til min tvivl er de første 10 år af den relativistiske kosmologis historie fra 1917 til 1927. Einstein fremsatte sin teori om et statiskt univers med et endeligt rum bestående af en 3-dimensional kugle. Einsteins hovedmotiv var at undgå en specifikation af randværdien for geometrien. Det var en genial løsning. En kugle har ingen rand. Der var blot det problem, at feltligningerne ikke tillader en sådan løsning! Einstein tilføjer derfor dette uskyldige led Λgμν til feltligningerne. Leddet ændrer ikke teoriens lokale bevarelse af energi og impuls, men det tillader den ønskede statiske løsning med et kugleformet rum. Jeg minder om, at Einsteins univers bestod af stjerner. Man havde endnu intet sikkert bevis for, at spiraltågerne var fjerne galakser.

Kort tid efter fandt Willem de Sitter en statisk løsning til Einsteins feltligninger med den kosmologiske konstant, idet han anvendte den samme strategi som Karl Schwarzschild havde brugt til at finde rumtiden omkring en punktmasse. de Sitters løsning har et accelerationsfelt, som vokser lineært med afstanden. Det tilhørende newtonske potential må derfor aftage proportionalt med kvadratet på afstanden, og den gravitationelle rødforskydning vil vokse med kvadratet på afstanden. Den gravitationelle rødforskydning forudsætter dog, at urene har en konstant afstand. Dette er umuligt, hvis de er i frit fald. Man må nødvendigvis kombinere den gravitationelle rødforskydning med Doppler-effekten for objekternes bevægelser. Situationen var derfor ganske kompliceret for astronomerne. Man havde Einsteins statiske univers uden rødforskydning, og man havde de Sitter effekten med en tendens til at sprede stjernerne kombineret med en gravitationel rødforskydning, som voksede med kvadratet på afstanden. Det er ikke underligt, at astronomerne var forvirrede.

Gennembrudet kom i 1924, hvor Lemaître indførte et medfølgende koordinatsystem for frit faldende testpartikler i de Sitters rumtid. Ekspansionsfaktoren for disse partikler er givet ved a(t) = a(t0)eH⋅t, hvor H er en konstant bestemt ved Λ. Dette er den moderne version af de Sitters univers. Alle synes at fortrænge det oprindelige statiske univers. Historien viser, at valget af fundamentale observatører har stor betydning. Lemaître viste i 1927, at Einsteins univers er ustabilt. En lille undertæthed vil medføre, at det starter en ekspansion, som vil nærme sig mere og mere mod de Sitters model, men Lemaîtres vigtigste opdagelse var, at det lokale hastighedsfelt er givet ved relationen v = H⋅r, hvor H = (da/dt)/a, og a(t) er ekspansionsparameteren. Rødforskydningen bliver altså en lineær funktion af afstanden under forudsætning af, at v er lille i forhold til lyshastigheden. Lemaîtres artikel blev først opdaget 3 år senere på Eddingtons skrivebord efter offentliggørelsen af Hubbles lineære relation mellem afstand og rødforskydning for nære galakser. Det kan være farligt med rod på skrivebordet.

Hvad har historien lært os? Man skal ikke forsøge at adskille gravitationel rødforskydning og kinematisk rødforskydning i kosmologien. Vi skal i stedet anvende Lemaîtres resultat, Δv = H(t)Δr, kombineret med Einsteins ækvivalensprincip, der fortæller os, at den specielle relativitetsteori gælder i et frit faldende koordinatsystem. Lad en lysimpuls passere en galakse til den kosmiske tid t med retning mod en nabogalakse i den korte afstand Δr. Nabogalaksen fjerner sig med den lille hastighed Δv = H(t)Δr. Lysimpulsen når frem til nabogalaksen til tiden t+Δt, hvor Δt = Δr/c. Man kan her anvende den klassiske Doppler-formel for rødforskydningen ved nabogalaksen: Δλ/λ = Δv/c, hvor λ er lysets bølgelængde. Ved indsætning fås

Δλ/λ = H(t)Δr/c = H(t)Δt = (da/dt)Δt/a(t) = Δa/a

Ved integration fra udsendelse ved te til observation ved to fås det ønskede resultat

λoe = a(to)/a(te)

Formlen findes ved gentagne anvendelser af den klassiske Doppler-formel for lysets rødforskydning. Jeg konkluderer, at den kosmologiske rødforskydning er en integreret Doppler-effekt.

Grønt lys for eLISA-rumobservatoriet

Arbejdet er fuldført: LISA Pathfinder rapporterer, at det er muligt at konstruere en gravitationsbølgedetektor i rummet. Resultater fra 55 dages målinger af afstanden mellem to frit svævende metalterninger begræfter, at det er muligt at konstruere en rumdetektor i fuld skala under anvendelse af den samme teknologi. Denne mission – den foreslåede Evolved Laser Interferometer Space Antenna (eLISA) vil være i stand til at observere sammensmeltningen af to supermassive sorte huller over store kosmologiske afstande, men den er endnu ikke formelt godkendt, og den kan tidligst finde sted i 2034.

Størrelsen af den relative acceleration mellem de to testmasser blev målt til 10-16 g. Resultaterne er publiceret i Physical Review Letters:

LISA Pathfinder Results

ABSTRACT: We report the first results of the LISA Pathfinder in-flight experiment. The results demonstrate that two free-falling reference test masses, such as those needed for a space-based gravitational wave observatory like LISA, can be put in free fall with a relative acceleration noise with a square root of the power spectral density of 5.2±0.1  fm s−2/√Hz, or (0.54±0.01)×10−15  g/√Hz, with g the standard gravity, for frequencies between 0.7 and 20 mHz. This value is lower than the LISA Pathfinder requirement by more than a factor 5 and within a factor 1.25 of the requirement for the LISA mission, and is compatible with Brownian noise from viscous damping due to the residual gas surrounding the test masses. Above 60 mHz the acceleration noise is dominated by interferometer displacement readout noise at a level of (34.8±0.3)  fm/√Hz, about 2 orders of magnitude better than requirements. At f≤0.5  mHz we observe a low-frequency tail that stays below 12  fm s−2/√Hz down to 0.1 mHz. This performance would allow for a space-based gravitational wave observatory with a sensitivity close to what was originally foreseen for LISA.

Green light for space-based gravitational wave detector

Job done. LISA Pathfinder, the European mission launched to see whether it would be possible to build a gravitational wave detector in space, has reported back that the answer is a resounding yes.

Mission operators say that the results obtained thus far from 55 days of measuring distances between two free-floating metal cubes in an orbiting spacecraft support the construction of a full-scale space detector using the same technology, which would be able to observe the catastrophic merger of supermassive black holes far across the universe and other cataclysmic events. That mission—the proposed €1 billion Evolved Laser Interferometer Space Antenna (eLISA)—is not yet formally approved or scheduled to take place until 2034, however.

Gravitational wave detectors are more like microphones than telescopes and “allow us to listen to the universe,” Fabio Favata of the European Space Agency’s (ESA’s) science directorate told a press conference in Madrid today at which LISA Pathfinder’s first results were unveiled. But with ground-based detectors being 4 kilometers across and eLISA’s multiple spacecraft shooting lasers to each other across as much as 5 million kilometers of space, there is much technology development to do. “We have to learn to walk before we learn to run,” Favata says.

Hence the launch of LISA Pathfinder. The eLISA mission would listen for gravitational waves by having three spacecraft flying in formation millions of kilometers apart and firing laser beams between them to measure the distances. If a gravitational wave passes by, it will compress and stretch space, causing those distances to change. The changes will be tiny, in the range of a millionth of a millionth of a meter, so the measurement systems have to be highly precise.

The key to the system is free-floating “test masses,” small cubes of a gold-platinum alloy about the size of golf balls, which act as end-mirrors for the laser beams. The masses have to float free of any external forces, so only gravity is acting on them, and the lasers, with the help of an optical instrument called an interferometer, measure the distance between the test mass in one spacecraft and its twin in another craft a long way away. The role of each spacecraft is, in addition to making these measurements, protecting the masses from external forces such as sunlight and solar wind.

To show that the necessary sensitivity is possible, LISA Pathfinder measures the distance between two masses, both of which are inside the spacecraft. “We’ve shrunk the arm of a large gravitational wave antenna to 35 centimeters so we could show it works properly,” Paul McNamara, LISA Pathfinder project scientist, told the press conference.

LISA Pathfinder was launched in December 2015 to a spot 1.5 million kilometers from Earth. When its test masses where first released to float free in February, “the relief was unbelievable,” McNamara says. Science operations began on 1 March and on that first day the team was able to measure distance variations between the masses much smaller than LISA Pathfinder’s mission requirements, Stefano Vitale, the mission’s principle investigator, told reporters. After a month, the variations were even smaller, “very close to [eLISA] requirements,” he says.

The team report their results in a paper published today in Physical Review Letters. Much of the residual tiny movements of the two masses are due to the few gas molecules left in the spacecraft banging against them. As those continue to be pumped out that “thermal noise” is further reduced. Vitale says today the mission is meeting eLISA requirements: The amount of acceleration measured between the two masses was measured as less than a tenth of a femto-g—that’s a tenth of a millionth of a billionth of Earth’s gravity.

The very first detection of a gravitational wave by a ground-based detector, the Laser Interferometer Gravitational Observatory (LIGO), was only made earlier this year after decades of trying. Vitale said that there are two key requirements for eLISA to go ahead: a successful LISA Pathfinder and detecting gravitational waves. “It’s been an annus mirabilis to get both at once,” he says.

Once eLISA is in operation—in 2034 or possibly sooner—McNamara says it will provide “a whole new way to see the universe. We can build up a history of the universe and understand why it is like it is today.” But, he says, just as LIGO’s discovery provided unexpected results, “it’s the things we don’t know yet that really get us excited.” Vitale says he is looking forward to studying the situation when a small black hole spirals down into a supermassive one. “It follows a very complicated orbit and will send a message: mapping the gravitational field of the [supermassive] black hole. It will tell us, does the event horizon really exist. Wow!”

Daniel Clery
Daniel is Science’s deputy news editor in the United Kingdom, covering astronomy, physics, and energy stories as well as European policy.