Einstein@Home: dobbeltneutronstjerne

Einstein@Home discovery of a Double-Neutron Star Binary in the PALFA Survey

ABSTRACT: We report here the Einstein@Home discovery of PSR J1913+1102, a 27.3-ms pulsar found in data from the ongoing Arecibo PALFA pulsar survey. The pulsar is in a 4.95-hr double neutron star (DNS) system with an eccentricity of 0.089. From radio timing with the Arecibo 305-m telescope, we measure the rate of advance of periastron to be 5.632(18) deg/yr. Assuming general relativity accurately models the orbital motion, this corresponds to a total system mass of 2.875(14) solar masses, similar to the mass of the most massive DNS known to date, B1913+16, but with a much smaller eccentricity. The small eccentricity indicates that the second-formed neutron star (the companion of PSR J1913+1102) was born in a supernova with a very small associated kick and mass loss. In that case this companion is likely, by analogy with other systems, to be a light (1.2 solar mass) neutron star; the system would then be highly asymmetric. A search for radio pulsations from the companion yielded no plausible detections, so we can’t yet confirm this mass asymmetry. By the end of 2016, timing observations should permit the detection of two additional post-Keplerian parameters: the Einstein delay, which will enable precise mass measurements and a verification of the possible mass asymmetry of the system, and the orbital decay due to the emission of gravitational waves, which will allow another test of the radiative properties of gravity. The latter effect will cause the system to coalesce in ~0.5 Gyr.

Core-Collapse Supernova Explosions

Supernovaer drevet af gravitationsenergien fra kernens kollaps finder sted for massive stjerner med masser 8-10 gange Solens masse. Ti sådanne supernovaer eksploderer hvert sekund i det synlige univers. De udsender mere lys end en hel galakse over flere uger og har en større effekt i neutrinoer end den kombinerede lyseffekt fra alle stjerner i det synlige univers over en periode på 10-20 sekunder. Der dannes et kompakt objekt, en neutronstjerne eller et sort hul, i deres centre.

Ved slutningen af en massiv stjernes liv består dens kerne af grundstoffer fra jerngruppen. Kernen er omgivet af skaller med lettere grundstoffer, som stadig undergår kernefusion. Jernkernen er inaktiv, da dens atomkerner har den størst mulige bindingsenergi. Trykket i kernen frembringes af relativistiske degenererede elektroner. Så snart kernens masse overstiger den effektive Chandrasekhar masse på 1.5-2.0 solmasser, vil den indre kerne kollapse fra den centrale tæthed ∼ 1010 g/cm3 til en tæthed større end ∼ 2.7 x 1014 g/cm3. Den stærke kernekrafts frastødende virkning får den inderste kerne til at springe tilbage i den stadigt indfaldende ydre kerne. Den inderste kerne falder hurtigt til ro og danner den inderste del af en nydannet protoneutronstjerne. Et hydrodynamisk chok dannes ved overgangen til den ydre kerne. choket bevæger sig først udad, men det mister hurtigt energi til en opsplitning af de indfaldende atomkerner til neutroner, protoner og heliumkerner. Udsendelse af store mængder neutrinoer fra den varme gas (T ∼ 1011 K) reducerer yderligere energi og tryk bag choket, som hurtigt går i stå.

En speciel supernovamekanisme må genoplive choket, hvis der skal komme en eksplosion ud af kollapset. Denne må træde i kraft inden for nogle få sekunder efter den indre kernes tilbagespring, hvis massen af protoneutronstjernen ikke skal overstige grænsen for dannelsen af et sort hul uden supernovaeksplosion. En direkte information om mekanismen kan kun opnås via neutrinoer eller gravitationsbølger, som udsendes direkte fra supernovaens kerne. Ved kollapset frigøres en gravitationsenergi ækvivalent med ∼0.15 Mc2; men under 1% heraf udsendes som lys fra supernovaen. Neutrinoer og antineutrinoer af alle typer fjerner over 99% af den tilgængelige energi, når protoneutronstjernen afkøles og trækker sig sammen i løbet af ∼ 10 s.

Neutrinomekanismen i dens nuværende form blev foreslået af Bethe & Wilson i 1985. En del (∼ 5%) af de udsendte neutrinoer absorberes i laget mellem protoneutronstjernen og choket. Denne neutrino-opvarmning medfører, at choket starter med at bevæge sig udad igen. Det viste sig hurtigt, at neutrinomekanismen slog fejl ved sfærisk symmetri, men den er meget lovende for tredimensionale simuleringer, hvor hydrodynamiske ustabiliteter bryder den sfæriske symmetri og derved forøger neutrinomekanismens effektivitet. Man mener, at langt de fleste supernovaekslosioner ved kernekollaps sker via denne mekanisme.

En skematisk fremstilling af kernekollaps og dens simpleste muligheder.
En skematisk fremstilling af kernekollaps og dens simpleste muligheder.
Den specifikke entopi for kernen af et neutrinodrevet kollaps ved starten af eksplosionen. Den specifikke entropi er en populær størrelse ved visualiseringer, da den i kernen kun varierer med en faktor 20. Man ser den asymmetriske chokfront. Den fysiske skala er 600 x 400 km.
Den specifikke entopi for kernen af et neutrinodrevet kollaps ved starten af eksplosionen. Den specifikke entropi er en populær størrelse ved visualiseringer, da den i kernen kun varierer med en faktor 20. Man ser den asymmetriske chokfront. Den fysiske skala er 600 x 400 km.

Her følger en figur, som viser neutrinodrevet konvektion.

Udskæringer fra fire 3D-simuleringer af neutrinodrevet konvektion. Farverne angiver igen den specifikke entropi. Blå er lav og rød er høj entropi. Kun opløsningen varierer fra sektor til sektor.
Udskæringer fra fire 3D-simuleringer af neutrinodrevet konvektion. Farverne angiver igen den specifikke entropi. Blå er lav og rød er høj entropi. Kun opløsningen varierer fra sektor til sektor.

Massive Computation for Understanding Core-Collapse Supernova Explosions

ABSTRACT: How do massive stars explode? Progress toward the answer is driven by increases in compute power. Petascale supercomputers are enabling detailed three-dimensional simulations of core-collapse supernovae. These are elucidating the role of fluid instabilities, turbulence, and magnetic field amplification in supernova engines.

Proxima Centauri b: JWST observations

Prospects for Characterizing the Atmosphere of Proxima Centauri b

ABSTRACT: The newly detected Earth-mass planet in the habitable zone of Proxima Centauri could potentially host life – if it has an atmosphere that supports surface liquid water. We show that thermal phase curve observations with the James Webb Space Telescope (JWST) from 5-12 microns can be used to test the existence of such an atmosphere. We predict the thermal variation for a bare rock versus a planet with 35% heat redistribution to the nightside and show that a JWST phase curve measurement can distinguish between these cases at 5σ confidence. We also consider the case of an Earth-like atmosphere, and find that the ozone 9.8 micron band could be detected with longer integration times (a few months). We conclude that JWST observations have the potential to put the first constraints on the possibility of life around the nearest star to the Solar System.

Proxima Centauri b: Er den begoelig?

Tutorial models of the climate and habitability of Proxima Centauri b: a thin atmosphere is sufficient to distribute heat given low stellar flux

ABSTRACT: Proxima Centauri b, an Earth-size planet in the habitable zone of our nearest stellar neighbour, has just been discovered. A theoretical framework of synchronously rotating planets, in which the risk of a runaway greenhouse on the sunlight side and atmospheric collapse on the reverse side are mutually ameliorated via heat transport is discussed. This is developed via simple (tutorial) models of the climate. These show that lower incident stellar flux means that less heat transport, so less atmospheric mass, is required. The incident stellar flux at Proxima Centauri b is indeed low, which may help enhance habitability if it has suffered some atmospheric loss or began with a low volatile inventory.

Teleporting entanglement

Man kan overføre kvantetilstanden for en oprindelig foton til en anden foton; men hvad sker der, hvis fotonen selv er sammenfiltret med en anden foton?

Hvis 2 fotoner blandes ved anvendelse af et halvgennemsigtigt spejl eller en fiber coupler, er resultatet følgende 4 såkaldte Bell-tilstande:

  1. Samme polarisering på samme side.
  2. Forskellig polarisering på samme side.
  3. Samme polarisering på hver sin side.
  4. Forskellig polarisering på hver sin side.
Figur 36. To fotoner rammer et semireflekterende spejl fra hver sin side. I hvilken outputretning ender de 2 fotoner. Fotonerne er selvfølgelig ikke kugler men bølgepakker.
Figur 36. To uafhængige fotoner rammer en beamsplitter. De to fotoner ender enten på hver sin side af beamsplitteren eller på samme side. De to udgående fotoner kan enten have samme polarisering eller vinkelrette polariseringer.

En polariseringsmåling af de udgående fotoner afgør, hvilken Bell-tilstand der er tale om. Oplysningen angives ved 2 klassiske cbit, som kan sendes over en klassisk informationskanal. En Bell-måling påtvinger de indkommende fotoner en fælles sammenfiltret fortid.

Jeg vil starte med 2 sammenfiltrede fotonpar: A har en fælles sammenfiltret fremtid med B og X har en fælles sammenfiltret fremtid med Y. Vi udfører dernæst en Bell-tilstandsanalyse (BSA) på X og A, som medfører en sammenfiltring af fotoner fra de 2 forskellige par.

Figur 47. Vi starter med 2 sammenfiltrede par, A-B og X-Y. Vi udfører dernæst en BSA på A og X. Der sker nu det, at sammenfiltringen af X og Y teleporteres over til B. Man kan også sige, at sammenfiltringen af A med B teleporteres over til Y. De 2 fotoner B og Y ender med at være sammenfiltrede, selvom de i begyndelsen var helt uafhængige.
Figur 47. Vi starter med 2 sammenfiltrede par, A-B og X-Y. Vi udfører dernæst en BSA på A og X. Der sker nu det, at sammenfiltringen af X og Y teleporteres over til B. Man kan også sige, at sammenfiltringen af A med B teleporteres over til Y. De 2 fotoner B og Y ender med at være sammenfiltrede, selvom de i begyndelsen var helt uafhængige.

Den normale procedude er, at Alice først foretager en Bell-analyse af de 2 fotoner X og A, hvorefter hun sender et signal om analysen til Bob over en klassisk kanal. Bob foretager dernæst polariseringsmålinger på Y og B, som viser at målingerne er korrelerede, men kun hvis han anvender de målinger, som Alice har udført.

I år 2000 foreslog Asher Peres, at man skulle vende proceduren på hovedet, idet Bob skal starte med at måle polarisationer for Y og B. Først når Bob har gemt resultaterne, skal Alice udføre sin måling af Bell-tilstanden for de 2 fotoner X og A. Først efter denne måling bliver Y og B sammenfiltrede. Situationen vises i denne figur.

Figur 48. Bob måler polariseringen for en foton fra hvert par, B og Y. De andre 2, A og X, sendes over til Alice til en forsinket måling. Hun kan sammenblande de 2 fotoner og foretage en Bell-måling, eller hun kan foretage uafhængige målinger af deres polarisering.
Figur 48. Bob måler polariseringen for en foton fra hvert par, B og Y. De andre 2, A og X, sendes over til Alice til en forsinket måling. Hun kan sammenblande de 2 fotoner og foretage en Bell-måling, eller hun kan foretage uafhængige målinger af deres polarisering.

Fortolkningen af Bobs målinger afhænger af, hvad Alice beslutter sig til at måle. Bobs målinger af Y og B er fra starten helt uafhængige og ukorrelerede. Hvis Alice beslutter sig for at udføre en måling af Bell-tilstanden for X og A, kan Bob anvende informationen til at opdele de oprindelige polarisationsmålinger af Y og B i fire delmængder svarende til de fire Bell-tilstande. Der opstår herved 4 forskellige korrelationer mellem Y og B for hver af de 4 delmængder.

Bobs data giver ingen forklaring i sig selv. De får først en fysisk mening, når Alice har udført nogle specifikke målinger, og den fysiske forklaring afhænger af, hvilke målinger hun beslutter at udføre. Hvis hun udfører uafhængige målinger på X og A, er den fysiske forklaring på Bobs data en helt anden.

Man har problemer med at teleportere kvantetilstande over mere end 100 km glasfiber på grund af tab af fotoner. En mulig løsning er en kæde af teleportation of entanglement som vist på følgende figur.

Figur 49. Kvantekomputere kan forbindes med en kæde af quantum repeaters. En kvanteforstærker ville være en ideel løsning, men dette er umuligt, da en kvantetilstand ikke kan klones.
Figur 49. Kvantekomputere kan forbindes med en kæde af quantum repeaters. En kvanteforstærker ville være en ideel løsning, men dette er umuligt, da en kvantetilstand ikke kan klones.

En kvantetilstand er ikke et felt, som udbreder sig i virkelighedens rum og tid. Kvantetilstanden er derimod en matematisk repræsentation for den information, som vi har om den specifikke fysiske situation, som vi er ved at undersøge. En kvantemekanisk måling producerer derimod data om den virkelige verden, men data uden fysisk forklaring. Kvantetilstanden for situationen hjælper os med at skabe en fysisk fortolkning af de målte data.

Det med småt: Disse betragtninger gælder kun rene uforstyrrede kvantetilstande. Det store problem er at frembringe og opretholde uforstyrrede kvantetilstande.

 

 

Teleportering af en optisk foton

Hjertet af teleportationseksperimentet ved floden Donau er en kraftig pulserende laser, som udsender 80 millioner lysimpulser i sekundet. Hver impuls er ca. 150 fs lang. Et femtosekund er 1 x 10-15 s. Den korte tid skyldes, at de producerede fotoner ikke skal kunne adskilles. Figur 42 giver en skematisk fremstilling af eksperimentet.

Figure 42. Alice og Bob er furbundet med to informationskanaler. Den klassiske kanal er en radioforbindelse over floden. Kvantekanalen består af et par sammenfiltrede fotoner, A og B, som bevæger sig gennem glasfibre, som føres under Donau i en tunnel. Alice teleporterer kvantetilstanden for den oprindelige foton X.
Figure 42. Alice og Bob er furbundet med to informationskanaler. Den klassiske kanal er en radioforbindelse over floden. Kvantekanalen består af et par sammenfiltrede fotoner, A og B, som bevæger sig gennem glasfibre, som føres under Donau i en tunnel. Alice teleporterer kvantetilstanden for den oprindelige foton X. Hun udfører til dette formål en Bell-måling for sammenfiltring af X og A. Alice anvender den klassiske kanal til at overføre Bell-målingens resultater til Bob. Målingen viser til tider, at Bobs B-foton allerede er i den oprindelige X-fotons tilstand, så opgaven er løst. I andre tilfælde viser Bell-målingen, at Bob skal rotere polarisationen af B-fotonen for at den kan blive identisk med den oprindelige X-fotons polarisering. Den teleporterede foton bliver i begge tilfælde identisk med den oprindelige foton X, som imidlertid har mistet sin oprindelige polarisation ved målingen.

Lad os se nærmere på, hvordan X og det sammenfiltrede fotonpar A og B frembringes. Situationen vises mere detaljeret i figur 43.

Figur 43. En meget kort (150 fs) laserimpuls passerer gennem en krystal C og skaber et par fotoner, A og B, som er sammenfiltrede med hinanden. Dette par fotoner udgør en kvantekanal for teleportationen. Alice får foton A, og foton B sendes via en fiber til Bob.Laserimpulsen reflekteres tilbage til krystallen af et UV-spejl. Impulsen skaber ved den anden passage et andet fotonpar, X og Y. Trigger-fotonen Y fortæller os, at den anden foton X i parret er blevet dannet. X passerer gennem en polarisator før den sendes videre til Alice som originale X.
Figur 43. En meget kort (150 fs) laserimpuls passerer gennem en krystal C og skaber et par fotoner, A og B, som er sammenfiltrede med hinanden. Dette par fotoner udgør en kvantekanal for teleportationen. Alice får foton A, og foton B sendes via en fiber til Bob.Laserimpulsen reflekteres tilbage til krystallen af et UV-spejl. Impulsen skaber ved den anden passage et andet fotonpar, X og Y. Trigger-fotonen Y fortæller os, at den anden foton X i parret er blevet dannet. X passerer gennem en polarisator før den sendes videre til Alice som den originale X.

Krystallen C er kun 2mm tyk. Fotonerne X, A og B sendes ind i 3 glasfibre ved anvendelse af små linser. Fotonen Y meddeler, at vi har 3 fotoner på vej inde i glasfibrene. Foton X og A mødes i en fiber coupler, som virker på denne måde: Kernerne af to glasfibre er placeret så tæt sammen, så noget af lyset kan passere mellem fibrene. En fiber coupler virker nøjagtigt som en beam-splitter. Hver output-fiber går til en polarizing beam splitter (PBS). Denne opstilling kan identificere 2 entangled/sammenfiltrede tilstande mellem fotonerne A og X. Sådanne tilstande er opkaldt efter John Bell. Dette kræver selvfølgelig, at fotonerne X og A befinder sig på samme tid i beam-splitteren. Fibrenes længder skal derfor justeres med en nøjagtighed på 50 μm. Målestationen er skitseret i denne figur.

Figur 44. Proceduren går ud på at sammenfiltre foton X med foton A, som er sammenfiltret med foton B, der er på vej til Bob. En fiber coupler virker helt som et semireflekterende spejl. Hver af de 2 indkommende fotoner har samme sandsynlighed for at ende i en af de to udgående fibre. Vi kan lave en projektion af de oprindelige fotoner X og A på visse sammenfiltrede tilstande ved at detektere fotonerne bag 2 polariserende beam splitters (PBS). Målingerne kan skelne mellem 2 forskellige sammenfiltrede tilstande. Den ene tilstand identificeres ved detektionen af både en H-polariseret og en V-polariseret foton i den samme PBS. Den anden tilstand defineres ved, at fotoner med modsatte polariseringer detekteres i hver sin output-fiber.
Figur 44. Proceduren går ud på at sammenfiltre foton X med foton A, som er sammenfiltret med foton B, der er på vej til Bob. En fiber coupler virker helt som et semireflekterende spejl. Hver af de 2 indkommende fotoner har samme sandsynlighed for at ende i en af de to udgående fibre. Vi kan lave en projektion af de oprindelige fotoner X og A på visse sammenfiltrede tilstande ved at detektere fotonerne bag 2 polariserende beam splitters (PBS). Målingerne kan skelne mellem 2 forskellige sammenfiltrede tilstande. Den ene tilstand identificeres ved detektionen af både en H-polariseret og en V-polariseret foton i den samme PBS. Den anden tilstand defineres ved, at fotoner med modsatte polariseringer detekteres i hver sin output-fiber.

Hurtig elektronik identifiserer, hvilken af de to sammenfiltrede (X,A)-tilstande, som er detekteret, og sender beskeden videre til Bob via radioforbindelsen, så han kan ændre polariseringen af fotonen B, hvis det skulle blive nødvendigt. Figur 45 viser Bobs opstilling.

Figur 45. Bobs foton B, som oprindeligt var sammenfiltret med foton A, ankommer via en optisk glasfiber. Den klassiske kanal fortæller Bob, hvilken af de 2 sammenfiltrede tilstande som blev målt af Alice. I et af de to tilfælde har B den samme polarisationstilstand som den originale foton X, og hanskal intet gøre. I det andet tilfælde skal foton B roteres. Dette gøres ved anvendelse af en electro-optical modulator (EOM).
Figur 45. Bobs foton B, som oprindeligt var sammenfiltret med foton A, ankommer via en optisk glasfiber. Den klassiske kanal fortæller Bob, hvilken af de 2 sammenfiltrede tilstande som blev målt af Alice. I et af de to tilfælde har B den samme polarisationstilstand som den originale foton X, og han skal intet gøre. I det andet tilfælde skal foton B roteres. Dette gøres ved anvendelse af en electro-optical modulator (EOM).

Til slut undersøges, om den teleporterede foton får den samme polarisering som den originale X-foton. Informationen i en fotons polarisering kaldes en qbit. Man kan ikke kopiere kvanteinformation. Man kan kun flytte kvanteinformation. Metoden er ideel til transmission af krypteringsnøgler.

Bogen nævner 2 skavanker ved den omtalte realisering af teleportering:

  1. Kun 30% af fotonerne detekteres af fotondetektorene.
  2. Metoden kan kun identificere 2 af de 4 sammenfiltrede Bell-tilstande.

Det sidste betyder, at kun halvdelen af tilstandene bliver teleporterede. Der er altså plads til forbedringer. Eksperimentet er sikkert mere end 10 år gammelt, så der er måske allerede sket forbedringer.

 

Hvordan fremstilles entanglement?

Fremstillingen af fotonpar med sammenfiltrede polarisationer har stor betydning for teleportation af en fotons polarisation, selvom Schrödingers entanglement ikke i sig selv kan anvendes til at transmittere information, da polarisationen varierer tilfældigt fra par til par. Den bedste kilde til sammenfiltrede fotonpar er en meget speciel proces ved navn spontaneous parametric down-conversion (SPDC) i en meget speciel kunstigt fremstillet krystal, som belyses med en kraftig laserstråle.

Figur 41. En kraftig laserstråle (pump beam) rammer en speciel krystal. En foton i laserstrålen vil i sjældne tilfælde omdannes til to nye fotoner, som udsendes langs to kegler med den ene foton på den ene kegle og den anden foton på den anden kegle. De 2 fotoner i et par findes altid over for hinanden på de 2 kegler. Fotoner på den ene kegle har vertikal polarisering, fotoner på den anden har horisontal polarisering. Et par, som bevæger sig langs keglernes 2 skæringslinier, har ortogonale polariseringer. De 2 polariseringer forekommer med 50% sandsynlighed.
Figur 41. En kraftig laserstråle (pump beam) rammer en speciel krystal. En foton i laserstrålen vil i sjældne tilfælde omdannes til to nye fotoner, som udsendes langs to kegler med den ene foton på den ene kegle og den anden foton på den anden kegle. De 2 fotoner i et par findes altid over for hinanden på de 2 kegler. Fotoner på den ene kegle har vertikal polarisering, og fotoner på den anden har horisontal polarisering. Et par, som bevæger sig langs keglernes 2 skæringslinier, har ortogonale polariseringer. De 2 polariseringer forekommer hver med 50% sandsynlighed.

Kilden producerer Schrödingers entanglemet mellem de 2 fotoners polarisation, idet man med lige stor sandsynlighed finder HV og VH for de 2 fotoner.

 

Kvantelotteri med to fotoner

De følgende figurer er taget fra Anton Zeilingers bog Dance of the photons ud fra en betragtning om, at et par billeder fortæller mere end mange ord.

Lad os antage, at 2 fotoner rammer en beam-splitter fra hver sin side (figur 36). Hvad sker der, når hver foton har samme sandsynlighed for at blive reflekteret eller transmitteret? Der er kun 4 muligheder:

  • Begge fotoner reflekteres.
  • Begge fotoner transmitteres.
  • Den øverste foton reflekteres og den nederste transmitteres.
  • Den øverste foton transmitteres og den nederste reflekteres.

Man skulle forvente, at hvert tilfælde forekommer med samme sandsynlighed. Figur 36:

Figur 36. To fotoner rammer et semireflekterende spejl fra hver sin side. I hvilken outputretning ender de 2 fotoner. Fotonerne er selvfølgelig ikke kugler men bølgepakker.
Figur 36. To fotoner rammer et semireflekterende spejl fra hver sin side. I hvilken output-retning ender de 2 fotoner. Fotonerne er selvfølgelig ikke kugler men bølgepakker.

Sådan et eksperiment blev faktisk udført i 1987 af Hong, Ou og Mandel. Deres eksperiment var i modstrid med den simple forudsigelse, idet begge fotoner altid ender på samme side af spejlet. Figur 37:

Figur 37: To uskelnelige fotoner ender altid sammen på den samme side af det semireflekterende spejl. De befinder sig enten i den øvre udgående stråle eller i den nedre udgående stråle.
Figur 37: To uskelnelige fotoner ender altid sammen på den samme side af det semireflekterende spejl. De befinder sig enten i den øvre udgående stråle eller i den nedre udgående stråle.

Fotonerne i figur 37 skal have samme frekvens og samme polarisation, og de skal ramme spejlet på samme tid. Fotoner er bosoner, som altid foretrækker samme kvantetilstand, hvis det er muligt.

Jeg overså ved første gennemlæsning, at

  1. de to fotoner i figur 37 skal ramme det semireflekterende spejl inden for få fs (milliontedel ns). De ender i modsat fald som i figur 36.
  2. de to fotoner (X og A), som blandes i en fiber coupler ved teleportering, mødes kun inden for 100-200 fs, hvorfor de har de omtalte 4 muligheder.

Anton Zeilinger udførte i 1996 et eksperiment, hvor de 2 indkommende fotoner var sammenfiltrede, så deres (ukendte) polarisationer var eksakt ortogonale. De kommer i dette tilfælde ud i hver sin retning som vist i figur 38:

Figur 38. To fotoner, som er sammenfiltrede på en sådan måde, at deres polarisation, rammer beam splitteren fra hver sin side altid er ortogonale,
Figur 38. To fotoner, som er sammenfiltrede på en sådan måde, at deres polarisationer altid er ortogonale, rammer beam-splitteren fra hver sin side. Der vil i dette tilfælde kun være 1 foton i hver af de udgående stråler.

De to fotoner vil altid have forskellige polarisationer, hvorfor de vil undgå hinanden som fermioner. Dette resultat har enorm betydning for teleportering. Man kan med en fiber coupler ved polarisationsmålinger afgøre, om 2 fotoner tilhører et sammenfiltret (entangled) par.

 

 

Hamilton-Jacobi -> Schrödinger

Den klassiske mekanik udledes ud fra et systems Lagrange-funktion L(t,x,dx/dt), hvor t er tiden, x er n generelle koordinater og dx/dt er de n tilsvarende koordinathastigheder. Man tænker sig, at systemet bevæger sig langs en vilkårlig kurve Γ mellem to faste punkter a og b. Integralet langs kurven fra a til b: S(Γ) = ∫abL(x,dx/dt)dt kaldes på engelsk action, hvorimod man på tysk kalder det wirkung. De klassiske bevægelsesligninger for systemet fremkommer ved at minimere action/wirkung. Ud fra Lagrange-funktionen indføres på engelsk den kanoniske momentum og på tysk den kanoniske impuls ved definitionen
p = ∂L(t,x,dx/dt)/∂(dx/dt)
Det er et afgørende krav, at man kan finde koordinathastighederne dx/dt som en funktion af de kanoniske variable (t,x,p), så dx/dt = φ(t,x,p). Hamilton-funktionen er nu defineret ved
H(t,x,p) = -L{t,x,φ(t,x,p)}+∑piφi(t,x,p)

Jeg vil ikke dvæle ved de Hamiltonske bevægelsesligninger, men springer direkte til den berømte 180 år gamle Hamilton-Jacobi-ligning:
∂S/∂t+H(t,xj,∂S/∂xj) = 0, hvor pi(t,x) = ∂S(t,x)/∂xi

Løsningen kaldes på tysk en wirkungsfunktion, idet S(t,x) = Σ danner en familie af ækvidistante hyperflader og tilhørende transversale kurver, således at den minimale wirkung langs kurverne mellem to hyperflader overalt er den samme.

TEOREM: En familie af hyperflader S(t,x) = konst er ækvidistante med hensyn til Lagrange-funktionen L(t,x,dx/dt), hvis og kun hvis S er en løsning til Hamilton-Jacobi-ligningen, hvor Hamilton-funktionen skal svare til Lagrange-funktionen.

Hamilton-Jacobi-ligningen kan også anvendes på den geometriske optik, hvor banerne udgør lysstråler gennem et refraktivt medium.

Men hvordan kommer man videre fra S til en beskrivelse af et bølgefænomen? I geometrisk optik fortolkes S(t,x) som bølgefronter, der skærer et tilhørende bundt af lysstråler. Den samme betragtning kan anvendes for partikler.

Lad os betragte et konservativt dynamisk system med H(x,p) = E, hvor E er konstant. Hamilton-Jacobi-ligningen bliver i dette tilfælde E+∂S/∂t=0, som integreres til S(t,x) = S*(x) – E⋅t, hvor S* alene er en funktion af x. Impulsen for det tilhørende kanoniske felt er p(x) = ∇S*(x).

De tilhørende hyperflader er defineret ved S*(x) = E⋅t + Σ, hvor Σ er en konstant. Lad n være en normal til fladen i et punkt P(x) til tiden t:
n= ∣∇S*-1∇S*, hvor ∣∇S*∣ er normen af gradienten ∇S*. Punktet Q(x+dx) til tiden t+dt medfører ∇S*∙dx = E⋅dt.

Hvis Q desuden befinder sig i afstanden s fra P langs normalen,
gælder dx = n⋅ds, så vi får dx/ds = n = ∣∇S*-1∇S*.
Dette medfører, at ∇S*∙(dx/ds) = ∣∇S*∣ = E(dt/ds).
Impulsens længde er p = ∣∇S*∣ og bølgefrontens fart er v = ds/dt.

Bølgefrontens udbredelsesfart er altså givet ved v = E/p.

Vi antager nu, at bølgefronterne er flader med konstant fase for en complex bølgefunktion af formen: ψ = A exp[-2πi{νt-φ(x)}], hvor ν er frekvensen og (νt – φ) er fasen.

Hypotesen medfører, at h{νt – φ(x)} = {E⋅t-S*(x)}, hvor h er en konstant. Da dette må gælde for alle værdier af t og x, slutter vi at
E = hν og S*(x) = hφ(x)

Om en bølge gælder, at hastigheden v = λν = E/p, der medfører at λ = h/p.

Jeg indsætter nu udtrykkene tilbage i bølgefunktionen, idet jeg med Dirac definerer ℏ = h/2π: ψ = A exp[i(S*(x)-E⋅t)/ℏ]

Man ser nu umiddelbart, hvorfor ℏ kaldes virkningskvantet, da S kaldes wirkungsfunktion på tysk.

Jeg tager nu gradienten af bølgefunktionen: ∇ψ = (i/ℏ)∇S*ψ
eller pψ = (ℏ/i)∇ψ.

Impulskomponenten pj tilknyttes en operator pj = (ℏ/i)∂/∂xj.

Ved at differentierer ψ med hensyn til t fås iℏ∂ψ/∂t = Eψ.

Energien tilknyttes også en operator E = iℏ∂/∂t.

Jeg indfører nu Hamilton-operatoren H ≡ H(t,xj,pj) = E. Heraf ses, at bølgefunktionen må opfylde Schrödingers ligning: Hψ = iℏ∂ψ/∂t.

 

Portræt af en sort hest: Pegasus III

Pegasus III er en af de få kendte ultrasvage stjernesystemer i Mælkevejens ydre halo. Dongwon Kim og medforfattere præsenterer resultaterne fra opfølgende observationer med Magellan og Keck teleskoperne. Dyb stjernefotometri ned til r0 ≈ 26 mag tillod dem at bestemme stjernesystemets fotometriske og struktuelle egenskaber. Farve-lysstyrke-diagrammet for Peg III bekræfter, at stjernesystemet består af en gammel (∼13.5 Ga), metalfattig ([Fe/H] ∼ -2.5 dex) og α-beriget ([α/Fe] ∼ +0.4 dex) stjernepopulation i en heliocentrisk afstand af 215±12 kpc. (α refererer til grundstoffer, hvis kerner består af et helt antal α-partikler, dvs heliumkerner). Den reviderede radius, som omslutter halvdelen af lyset, rh = 53±14 pc, ellipticiteten ε = 0.38+0.22-0.38 og den totale luminositet MV = -3.4±0.4 er i god overensstemmelse med værdierne angivet i forfatternes tidligere artikel. Peg III har en heliocentrisk hastighed på -222.9±2.6 km/s og en hastighedsdispersion på 5.4+3.0-2.5 km/s. De udleder en dynamiske masse inden for rh på 1.4+3.0-1.1 x 106 M og et masse-lysstyrke-forhold på M/LV = 1470+5660-1240 M/L. Forfatterne finder, at Peg III og en anden fjern dværggalakse Pisces II har omtrent samme radialhastigheder i the Galactic Standard of Rest (GSR). Hastigheden af Pegasus III i forhold til GSR er vGSR = -67.6 km/s. Jeg kan ikke finde ud af, hvilken rotationshastighed Θ0, der er anvendt til at finde hastigheden i forhold til GSR.

Data for Pegasus III
Data for Pegasus III

Bemærk det store masse-lysstyrke-forhold, som viser, at dværggalaksen er holdt sammen af mørkt stof.

Portrait of a dark horse: photometric properties and kinematics of the ultra-faint Milky Way satellite Pegasus III

ABSTRACT: Pegasus III (Peg III) is one of the few known ultra-faint stellar systems in the outer halo of the Milky Way. We present the results from a follow-up campaign with Magellan/IMACS and Keck/DEIMOS. Deep stellar photometry down to r026 mag has allowed accurate measurements of its photometric and structural properties. The color-magnitude diagram of Peg III confirms that the stellar system is well described by an old (13.5 Gyr), metal-poor ([Fe/H]2.5 dex) and α-enhanced ([α/Fe]+0.4 dex.) stellar population at a heliocentric distance of 215±12 kpc. The revised half-light radius rh=53±14 pc, ellipticity ϵ=0.38+0.220.38, and total luminosity MV=3.4±0.4 are in good agreement with the values quoted in our previous paper. We further report on the spectroscopic identification of seven, possibly eight member stars of Peg III. Peg III has a systemic velocity of 222.9±2.6 km s1 and a velocity dispersion of 5.4+3.02.5 km s1. The inferred dynamical mass within the half-light radius is 1.4+3.01.1×106M and the mass-to-light ratio M/LV=1470+56601240 M/L, providing further evidence that Peg III is a dwarf galaxy satellite. We find that Peg III and another distant dwarf satellite Pisces II lie relatively close to each other (Δdspatial47 kpc) and share similar radial velocities in the Galactic standard-of-rest frame (ΔvGSR10 kms1). This suggests that they may be a physically bound pair.