Kvanteberegninger: Spin

Alle beregninger involverer input af data fulgt af en behandling efter visse forskrifter og afsluttet med output af det endelige resultat. En bit er den grundlæggende dataenhed ved klassiske beregninger. Kvanteberegninger anvender enheden kvantebit, som sædvanligvis forkortes til qubit.

En klassisk bit svarer til én af to alternativer. Hvad som helst, der kan befinde sig i én af to tilstande, kan repræsenteres ved en bit. En qubit inkluderer disse to alternativer, men den kan også befinde sig i en kombination af disse to tilstande. Hvilke fysiske objekter kan repræsenteres af en eller flere qubits?

En qubit kan repræsenteres ved en elektrons spin eller en fotons polarisering. Det hele startede i 1922 med et fundamentalt eksperiment udført af Otto Stern og Walther Gerlach for at detektere sølvatomers spin.

Et eksperiment udført af Otto Stern og Walther Gerlach i 1922.

Forståelsen af et atoms konstruktion var i 1922 baseret på Niels Bohrs kvantisering af impulsmomentet for elektronernes cirkulære baner omkring den positive atomkerne. Denne kvantisering betyder, at elektronernes cirkelbaner befinder sig i bestemte skaller med voksende afstand fra kernen. Den inderste skal har plads til to elektroner. Den anden skal har plads til otte elektroner. Der er altid et lige antal elektroner i en fuld skal.  En cirkulerende elektron producerer et magnetfelt. Elektronerne i en fuld skal roterer parvis hver sin vej i samme cirkelbane, hvorfor skallen ikke frembringer noget netto magnetfelt. Sølvatomet har én enkelt elektron i den yderste skal, hvorfor atomet som helhed kan betragtes som en lille magnet frembragt af den enkelte elektrons cirkelbevægelse.

Stern og Gerlach udtænkte et eksperiment, som kunne afgøre, om syd-nord-aksen for disse atomare magneter kunne have alle mulige retninger eller, om de var begrænsede til bestemte retninger. De sendte en stråle af sølvatomer gennem et par magneter som vist i ovenstående figur. Magneternes V-formede design får sydmagneten til at virke stærkere end nordmagneten på strålens bane (atomerne er mange millioner gange mindre end afstanden mellem polerne). Hvis sølvatomet har nordpolen opad og syspolen nedad, vil magneten netto afbøjes opad. Hvis atomets sydpol vender opad, vil magneten netto frastødes, så banen bøjes nedad.

Et klassisk synspunkt vil hævde, at elektronens cirkelbane kan have alle mulige retninger svarende til, at atomets magnetfelt kan have alle mulige retninger. Sølvatomerne burde derfor ramme skærmen på en ret linje mellem det øverste og det nederste punkt. Dette er imidlertid ikke, hvad Stern og Gerlach ser på skærmen. De finder kun to punkter på skærmen: et helt for oven og det anden helt for neden. Alle atomer opfører sig som små stavmagneter oplinjerede i den vertikale retning. Hvordan kan dette forklares?

Det neutrale sølvatoms spin blev som nævnt målt med det ovenfor beskrevne apparat i 1922. To år senere foreslog Wolfgang Pauli, at en elektron har sit eget spin, så den også vil opfører sig som en lille magnet. Man kan imidlertid ikke i praksis måle afbøjningen af elektroner med Stern og Gerlachs apparat, da elektriske partikler i bevægelse afbøjes af magnetiske felter. De følgende diagrammer viser, hvordan en elektron ville afbøjes, hvis den var uden ladning, men med en magnetisk dipol. Der er altså tale om et pædagogisk eksperiment. Idéen bag diagrammerne er, at du er kilden, og magneterne er oplinjerede mellem dig og skærmen. Den sorte plet viser, hvordan atomerne/elektronerne afbøjes. Billedet til venstre viser magneternes afbøjning af elektronerne. Billedet til højre viser elektronen som en stangmagnet med nordpol og sydpol markerede.

(a) Eksperimentets udfald.                                                                                                        (b) Elektronens spin.

Figur S2: Elektron med spin-N i den vertikale retning.

(a) Eksperimentets udfald.                                                                                                        (b) Elektronens spin.

Figur S3: Elektron med spin-S i den vertikale retning.

Der er intet specielt ved den vertikale retning. Vi kan f.eks. rotere magneterne med 90°. Elektronerne opfører sig nu som små magneter med polerne oplinjerede i den horisontale retning som vist i figurerne S4 og S5.

(a) Eksperimentets udfald.                                                                                                    (b) Elektronens spin.

Figur S4: Elektron med spin-N i retningen 90°.

(a) Eksperimentets udfald.                                                                                                   (b) Elektronens spin.

Figur S5: Elektron med spin-N i retningen 90°.

Vi vil senere få brug for at rotere magneterne med forskellige vinkler. Vi vil altid måle vinkler med uret, idet 0° angiver opad i vertikal retning og θ måler vinklen fra vertikal opad. Figur S6 viser en elektron med spin-N i retningen θ.

Figur S6: Elektron med spin-N i retningen θ°.

Fremgangsmåden med at angive en elektrons spin som nordpolens retning kan forekomme lidt tung sammenlignet med blot at angive op, ned, venstre, højre, men den er utvetydig og undgår nogle af faldgruberne ved at rotere apparatet mere end 180°. Begge situationer vist i figur S7 repræsenterer f.eks. en elektron, som har spin-N i retningen 0° eller spin-S i retningen 180°.

(a) Eksperimentets udfald.              (b) Eksperimentets udfald.                                     (c) Elektronens spin.

Elektron med spin-N i retningen 0°.

Determinismens fald

Filosofien bag den klassiske fysik er determinisme: Et systems fremtidige tilstand er helt bestemt ud fra kendskabet til begyndelsestilstanden ved løsning af differentialligninger. Hvis der alligevel forekommer sandsynligheder som ved terningspil skyldes det, at løsningen er meget følsom over for kendskabet til begyndelsestilstanden.

Stern og Gerlachs apparatur er i denne sammenhæng vigtig, idet det på simpel vis illustrerer, at partikler med spin ikke opfører sig deterministiske. Dette vises ved at anbringe tre forskellige Stern-Gerlach-eksperimenter langs partikelstrålen, så partiklerne passerer alle tre eksperimenter:

1. Alle tre eksperimenter har sydmagneten opad i vertikal retning.
2. Det mellemste eksperiment har drejet sydmagneten til retningen 90°.

1. Alle tre eksperimenter afbøjer en partikel enten opad eller nedad.
2a. Det andet eksperiment afbøjer halvdelen af partiklerne enten til højre eller venstre (uafhængigt af det første eksperiments afbøjning).
2b. Det tredje eksperiment afbøjer halvdelen af partiklerne enten opad eller nedad (uafhængigt af de to første eksperimenters afbøjninger).

Hvad kan vi lære af disse eksperimenter? 1. viser at den første afbøjning bringer partiklen i en veldefineret spintilstand, som findes igen og igen med samme apparatur orienteret i samme retning. 2a. viser at denne veldefinerede spintilstand ikke kan forudsige den målte spintilstand i horisontal retning. Denne måling er tværtimod fuldstændig tilfældig med 50% sandsynlighed til hver retning. 2b. viser at partiklen efter den horisontale måling nu befinder sig i en ny spintilstand bestemt af målingen. Afbøjningen af partiklerne i det tredje eksperiment vil derfor være fuldstændig tilfældig med 50% sandsynlighed for afbøjning opad og nedad.

Vi har fundet to vigtige ting ud fra disse eksperimenter:

a) En måling af spin bringer partiklen i en veldefineret kvantetilstand.
b) Spintilstande er ikke deterministiske.

Fotonens lineære polarisering

En foton har to på hinanden vinkelrette lineære polarisationer. En polariseret film opfører sig på samme måde som Stern og Gerlachs apparatur, idet filmen transmitterer fotoner med den ene polarisering og absorberer fotoner med den vinkelrette polarisering. Den eneste forskel er, at en drejning af den anden film med 180° i forhold til den første helt svarer til ingen drejning. Dette er ikke tilfældet for en tilsvarende drejning af Stern-Gerlach-apparaturet som vist i figur S7. Figur S8 viser, at fotoner med vertikal polarisering passerer lige igennem to polariserede film med samme orientering. Figur S9 viser, at ingen fotoner slipper igennem to på hinanden vinkelrette polariserede film. Den absorberes af enten den ene eller den anden film.

(a) 2 lineært polariserede film  (b) som delvist overlapper    (c) som helt overlapper

Figur S8: To lineært polariserede kvadrater med samme orientering.

(a) 2 lineært polariserede film  (c) som delvist overlapper     (c) som helt overlapper

Figur S9: To lineært polariserede kvadrater med vinkelret orientering.

Den mest overraskende effekt opstår, hvis man indskyder et lineært polariseret kvadrat, som er drejet 45° mellem de to kvadrater, som helt stopper fotonerne ved absorption i det ene eller det andet kvadrat. Figur S10 viser, at nogle fotoner slipper igennem, hvor det drejede kvadrat overlapper. Hvordan kan dette forklares? Det første kvadrat transmitterer kun fotoner med en vertikal polarisering. Det mellemste kvadrat transmitterer fotoner med polarisering i retningen 45°, men absorberer fotoner med polarisering i retningen 135°. Det slipper altså halvdelen igennem. Det sidste kvadrat er drejet 45° i forhold til det mellemste, hvorfor det også lader halvdelen af fotonerne passerer. Resultatet er, at lyset svækkes med en faktor 2 uden for overlappet; men det svækkes med en faktor 8 inden for overlappet.

Figur S10: Tre lineært polariserede kvadrater med forskellige orinteringer.

Konklusioner

En partikels spin måles i en bestemt retning bestemt af apparaturets orientering. Det målte spin er kvantiseret: Der gives kun to mulige svar, som vi kan tildele de klassiske bit 0 og 1. Enhver kvanteberegning afsluttes med målinger af qubits i form af klassiske bits. Vi kan desuden frembringe strenge af sande tilfældige bits ved først at måle elektroners spin i den vertikale retning efterfulgt af en måling i den horizontale retning. Ingen klassisk deterministisk computer kan frembringe en streng af sande tilfældige bits.