Kvanteberegninger: Lineær algebra

Matricer

En matrix M er en rektangulær tabel fyldt med reelle tal; den kan opfattes som en række af søjler eller en søjle af rækkere. Den transponerede matrix MT fremkommer ved ombytning af rækker og søjler. Der gælder derfor, at MTT = M. Søjler og rækker kan opfattes som specialtilfælde. En transponeret søjlematrix er en rækkematrix og omvendt.

Vektorer

En vektor er en liste af reelle tal. Vektorens dimension er antallet af tal i listen. Søjler og rækker i en matrix er vektorer. En søjlevektor kaldes en ket og angives med betegnelsen |v>. En rækkevektor kaldes en bra og angives med betegnelsen <w|. Disse betegnelser blev indført af Paul Dirac. Her er et eksempel på en søjlevektor:
|v> = [2, 0.5, -3]T
og på en rækkevektor:
<w| = [1 0, -π, 23].

Vektordiagrammer

Vektorer kan afbildes som pile. Vi vil betragte eksemplet |a> = [3 1]T. Det første tal , 3, angiver ændringen i x-koordinaten fra begyndelsespunktet til det afsluttende punkt. Det andet tal, 1, angiver ændringen i y-koordinaten fra begyndelsespunktet til det afsluttende punkt.

Figur A1: Den samme ket tegnet i forskellige positioner.

En vektors længde

En vektors længde er som ventet længden af pilen i figuren ovenfor: kvadratroden af summen af dens komponenters kvadrater. Vi betegner længden af en ket |a> med udtrykket ||a>|. For vektoren |a> = [3 1]T, gælder derfor: ||a>|² = 3² + 1² = 10.

Mere generelt gælder:
|a> = [a1,  a2, …, an]T

||a>|² = a1² + a2² + … + an²

En vektor med længden 1 kaldes en enhedsvektor. Qubits repræsenteres ved enhedsvektorer.

Multiplikation med en skalar

Vi kan multiplicere en vektor |a> med en skalar c (reelt tal) ved at gange alle komponenter med c: |a> = [ca1, ca2, …, can]T. Multiplikation af en vektor med et positivt tal, c, skalerer dens længde med faktoren c. Vi kan fremstille en enhedsvektor ved at dividere en given vektor |a> med ||a>|: |u> = |a>/||a>|. Vektoren i figur A1 kan skaleres til en enhedsvektor ved division med kvaratroden af 10:
|u> = [3, 1]T/√10.

Vektoraddition

Vektoraddition visualiseres ofte ved et parallelogram som vist i figur A2. Addition af vektorerne |a> og |b> defineres mere formelt som
|a+b>=|b+a>=[(a1+b1), (a2+b2), …, (an+bn)]T.
De to vektorer skal have samme dimension. Ombytning af rækkefølgen er uden betydning.

Figur A2: Paralelogramloven for vektoraddition.

Ortogonale vektorer

Figur A2 kan også anvendes til at illustrere Pytagoras’ læresætning: Hvis a, b og c er længderne af en trekants tre sider, er a²+b²=c² hvis og kun hvis det er en retvinklet trekant. Figuren fortæller os, at de to vektorer |a> og |b> er vinkelrette hvis og kun hvis:
||a>|² + ||b>|² = ||a+b>|²
I lineær algebra anvendes sædvanligvis ordet ortogonal i stedet for vinkelret.

Multiplikation af en bra med en ket

Hvis de to vektorer <a| og |b> begge er n-dimensionale, defineres produktet af <a| og |b> som:
<a|b> = a1b1 + a2b2 + … + anbn

Bra-kets og længder

<a| og |a> er to versioner (række og søjle) af den samme vektor, hvorfor
<a|a> = a1² + a2² + … + an²
Længden af en vektor |a> er derfor ||a>| = √<a|a>.

Bra-kets og ortogonalitet

<a+b|a+b>=<b+a|b+a>=<a|a>+<a|b>+<b|a>+<b|b>=
<a|a> + <b|b> + 2<a|b>.
Her har jeg benyttet mig af, at <a|a+b>=<a|a>+<a|b> og <a|b>=<b|a>.

Man ser, at Pytagoras’ læresætning er opfyldt for vektorerne |a>, |b> og |a+b>, hvis og kun hvis <a|b> = 0.
Vektorene |a> og |b> er altså ortogonale, hvis og kun hvis <a|b> = 0.

Ortonormale baser

Mængden af alle 2-dimensionale vektorer betegnes ℜ². En ortonormal basis for ℜ² består af en mængde, som indeholder to ortogonale enhedsvektorer: |u1> og |u2>. Disse må opfylde betingelserne <u1|u1>=1, <u2|u2>=1 og <u1|u2>=0. Standardbasen er givet ved <u1|=[1,0] og <u2|=[0,1].

Den matematiske model for måling af spin i den vertikale retning anvender standardbasen. Rotation af måleapparaturet beskrives ved at vælge en ny ortonormal basis. Vi vil senere anvende tre 2-dimensionale baser med relation til apparaturets rotationsvinkel. For de tre sæt basisvektorer anvendes betegnelserne:
<↑| = [1,0], <↓| = [0,1].
<→| = [1,-1]/√2,   <←| = [1,1]/√2.
<60°| = [1,-√3]/2,   <240°| = [√3,1]/2.
Disse basisvektorer er ortonormale.

Vektorer udtrykt ved basisvektorer

Kan enhver vektor |v> i ℜ² skrives som en linearkombination af basisvektorer fra enhver ortonormal basis, som f.eks. {|↑>,|↓>} eller {|→>,||←>}? Jeg vælger den anden basis. Jeg opskriver |v> på formen:
|v> = x|→> + y|←>, hvor x og y er reelle faktoret.
Jeg ganger nu begge sider af ligningen først med <→| dernæst med <←|:
<→|v> = x<→|→> + y<→|←> = 1x + 0y = x
<←|v> = x<←|→> + y<←|←> = 0x + 1y = y

Tallene x og y benævnes sandsynlighedsamplituder. x²=<→|v>² giver os sandsynligheden for, at kvantetilstanden |v> springer til |→> ved en måling i horisontal retning. y²=<←|v>² giver os sandsynligheden for, at |v> springer til |←> ved samme måling.

Lad os antage, at |v> = [c, d]T. Indsætning giver amplituderne x = (c-d)/√2 og y = (c+d)/√2.

Ordnede baser

En ordnet basis er en basis, hvori mængden af basisvektorer er blevet tildelt en bestemt rækkefølge, dvs der er en første vektor, en anden vektor, etc. Man ændrer paranteserne omkring basisvektorerne fra krøllede til runde former. Standardbasis for ℜ² er mængden {|↑>,|↓>}. To mængder er ens, hvis de indeholder de samme elementer, så {|↑>,|↓>} = {|↓>,|↑>}.
Rækkefølgen af basisvektorerne har betydning for en ordnet basis, så (|↑>,|↓>) ≠ (|↓>,|↑>). At skelne mellem uordnede og ordnede basisvektorer kunne forekomme ret pedantisk, men permutation af basisvektorer har stor betydning.

Ortogonale matricer

En kvadratisk reel matrix M, hvorom der gælder, at MTM = I (identitetsmatricen), kaldes en ortogonal matrix. Dens søjler og rækker danner en ortonormal basis, hvis disse er enhedsvektorer. Ortogonale matricer bliver også vigtige, når vi skal se på kvantelogiske gates. Disse gates svarer til ortogonale matricer. En 2×2 matrix frembragt ud fra den ordnede basis (|←>,|→>) svarer til den såkaldte Hadamard gate. En 4×4 matrix frembragt ved ombytning af de to sidste søjlevektorer i standardbasen for ℜ² er associeret med den såkaldte CNOT gate. Praktisk talt alle kvantekredsløb vil være sammensat af netop disse to typer gates. De ortogonale matricer er vigtige!