Kvanteberegninger: Spin & Qubits

Den matematiske model for en kvantetilstand anvender både sandsynligheder og vektorer.  Den grundlæggende model er et vektorrum. Enhver måling vil antage én ud af et vist antal forskellige værdier, som bestemmer vektorrummets dimension. Måling af en spintilstand har kun to mulige udfald, så det underliggende vektorrum er 2-dimensional. Vi sætter dette rum til at være ℜ² – det 2-dimensionale plan, som vi alle kender i form af et stykke ternet papir. Vi vil ikke betragte alle vektorer i ℜ², kun enhedsvektorer med længden <v|v>=1.

Valg af en retningen for målinger af en spintilstand svarer til valg af en ordnet ortonormal basis (|b1>,|b2>). De to vektorer i denne basis svarer til de to mulige udfald af målingerne. Vi vil altid forbinde N med den første basisvektor og S med den anden. Før spinmålingen vil partiklen befinde sig i en spintilstand givet ved linearkombinationen |v>=c1|b1>+c2|b2>.  Ved selve målingen springer tilstanden fra |v> til enten |b1> eller |b2>. Dette er én af de grundlæggende idéer i kvantemekanik: Målinger  får tilstandsvektoren til at ændre sig. Den nye tilstand er en af basisvektorerne i forbindelse med målingen. Sandsynligheden for at springe til en bestemt basisvektor er givet ved begyndelsestilstanden. Sandsynligheden for at ende i |b1> er c1²; sandsynligheden for at ende i |b2> er c2². Tallene c1 og c2 kaldes sandsynlighedsamplituder. Det er vigtigt at huske, at disse ikke er sandsynligheder. De kan være både positive og negative. Det er kvadratet på disse tal, som er sandsynligheder. Den helt generelle formel for en spintilstand udtrykt ved en ordnet ortonormal basis har formen:

|v> = <b1|v>|b1> + <b2|v>|b2>.
De to overgangssandsynligheder er givet ved:
(1)  P(|v> ⇒ |b1>) = <b1|v.
(2) P(|v> ⇒ |b2>) = <b2|v.

Jeg vil nu undersøge 2 på hinanden følgende målinger med hver sin ordnede ortonormale basis: (|v1>,|v2>) og (|w1>,|w2>).
Der er 4 overgangssandsynligheder ved 2 på hinanden følgende målinger:
(1)  P(|v1> ⇒ |w1>) = <w1|v1.
(2) P(|v1> ⇒ |w2>) = <w2|v1.
(3) P(|v2> ⇒ |w1>) = <w1|v2.
(4) P(|v2> ⇒ |w2>) = <w2|v2.

Jeg vil vende tilbage til spinmålinger i de vertikale og horisontale retninger for at gøre tingene lidt mere konkrete. Den ordnede ortonormale basis svarende til måling af spin i den vertikale retning er (|↑>,|↓>), hvor |↑>=[1,0]T og |↓>=[0,1]T. Den første basisvektor svarer til, at elektronen har spin N i retningen 0° og den anden svarer til, at elektronen har spin S i retningen 0°.

Måling af spin i den horisontale retning er givet ved den ordnede ortonormale basis (|→>,|←>), hvor |→>=[1,-1]T/√2 og |←>=[1,1]T/√2. Den første basisvektor svarer til, at elektronen har spin N i retningen 90° og den anden svarer til, at elektronen har spin S i retningen 90°.

Spintilstanden måles først i den vertikale retning. Vi kender ikke spintilstanden for den indkommende elektron, men den må være en enhedsvektor, så den kan skrives som c1|↑> + c2|↓>, hvor c1²+c2²=1. Elektronen afbøjes enten opad, idet den springer til |↑> eller den afbøjes nedad, idet den springer til |↓>. Sandsynligheden for at den afbøjes opad er c1² og sandsynligheden for at den afbøjes nedad er c2².

De 4 overgangssandsynligheder for 2 på hinanden følgende målinger i først den vertikale retning, dernæst i den horisontale retning, er givet ved:
(1) P(|↑> ⇒ |→>) = <→|↑>².
(2) P(|↑> ⇒ |←>) = <←|↑>².
(3) P(|↓> ⇒ |→>) = <→|↓>².
(4) P(|↓> ⇒ |←>) = <←|↓>².

Man ser umiddelbart, at sandsynligheden for at måle den samme værdi er 1.0, hvis den anden basis er identisk med den første, altså hvis man foretager den anden måling med apparaturet orienteret i den samme retning. Hvis apparaturet er roteret med 90°, findes sandsynlighederne ved at indsætte i tabellen. Det er imidlertid praktisk først at udregne de 4 tilsvarende sandsynlighedsamplituder, som ikke er sandsynligheder:
(1)  <→|↑> = [1,-1]/√2[1,0]T = (1×1-1×0)/√2 = 1/√2.
(2) <←|↑> = [1,+1]/√2[1,0]T = (1×1+1×0)/√2 = 1/√2.
(3) <→|↓> = [1,-1]/√2[0,1]T = (1×0-1×1)/√2 = -1/√2.
(4) <←|↓> = [1,+1]/√2[0,1]T = (1×0+1×1)/√2 = +1/√2.

Man ser, at alle fire overgangssandsynligheder har værdien: P = 1/2.

Ækvivalente tilstandsvektorer

Antag, at vi har et antal elektroner, som angiveligt har spintilstande |v> eller -|v>. Findes der en måling, som kan adskille de to tilstande? Enhver enhedsvektor |v> kan skrives som en linearkombination af 2 ortonormale basisvektorer, hvor de 2 lineære koefficienter er sandsynlighedsamplituder , som skifter fortegn med |v>. Men husk, de målte sandsynligheder er givet ved kvadratet på amplituderne, så sandsynlighederne er uændrede ved et fortegnsskift af en spintilstand. Hvorfra kommer den postulerede ortonormale bases svarende til måling af spin i en bestemt retning, hvis fortegnet er ubestemt?

Basen tilknyttet en given spinretning

Vi begynder med måleapparaturet. Vi vælger den vertikale retning som begyndelsespunkt for en rotation med uret. Vi måler den horisontale retning, når apparaturet er blevet roteret 90°. Når apparaturets rotation har nået 180° måles den vertikale retning endnu en gang. En elektron, som har spin N i retningen 0°, vil have spin S i retningen 180°, og en elektron, som har spin S i retningen 0°, vil have spin N i retningen 180°. Vi behøver kun at rotere apparaturet fra 0° til 180° for at dække alle mulige spinretninger.

Jeg tager standardbasen ([1,0]T,[0,1]T) som udgangspunkt. Denne afbildes som to ortogonale enhedsvektorer i planet, som vist i Figur Q1.


Figur Q1: En standardbasis (|↑>,|↓>) for to dimensioner.

Jeg roterer nu disse vektorer med vinklen α° Denne generelle rotation afbildes i figur Q2.

Figur Q2: En standardbasis roteret med α°.

Vektoren [1,0]T roteres til [cos(α),-sin(α)]T, og [0,1]T roteres til [sin(α),cos(α)]T.
Rotationen ændrer den oprindelige ordnede, ortonormale basis fra ([1,0]T,[0,1]T) til ([cos(α),-sin(α)]T,[sin(α),cos(α)]T).  Ved rotationen α=90° antager denne basis den simple form ([0,-1]T,[1,0]T). Jeg har tidligere nævnt, at [0,-1]T er ækvivalent med -[0,-1]T=[0,1]T. Den roterede basis er altså ækvivalent med den oprindelige basis, på nær en ombytning af basisvektorernes orden (dvs N og S er ombyttet).

(a) Målevinklen.                                                                                             (b) Tilsvarende basis.

Figur Q3: Efter rotation af måleapparatur med θ°.

Vi lader θ angive måleapparatets rotationsvinkel og vinklen α angive basisvektorernes rotationsvinkel. Vi har set, at vi får et fuldstændigt sæt af retninger, når θ går fra 0° til 180°, samt at vi får et fuldstændigt sæt af basisrotationer, når α går fra 0° til 90°. Når vi når θ=180°, og α=90°, vil N og S målt i retningen 0° være blevet ombytet.

Vi laver den naturlige definition, at θ = 2α. Den basis, som svarer til at apparaturet roteres med vinklen θ er derfor givet ved
([cos(θ/2),-sin(θ/2)]T,[sin(θ/2),cos(θ/2)]T).
Dette illustreres i figur Q3.

Det er måske på sin plads med en opsummering: En vektor er en liste af tal, som antager to former: En rækkevektor med betegnelsen <•| (bra) eller en søjlevektor med betegnelsen  |•> (ket).  Antallet af tal i en vektor omtales som dens dimension. En matrix M kan opfattes som enten en række af søjlevektorer eller som en søjle af rækkevektorer.  En ombytning af rækker og søjler i en matrix M kaldes en transponering. Den angives med betegnelsen MT. Heraf følger, at en <•| = |•>T. Det (indre) skalarprodukt af to vektorer med samme dimension kan angives ved udtrykket <•|•> (bra-ket). Dette er grunden til, at Dirac indførte disse specielle betegnelser for række- og søjlevektorer. Jeg har angivet søjlevektorer som transponerede rækkevektorer, da det ikke er muligt at angive søjlevektorer og matricer i HTML.

Rotation af måleapparatet med 60°

Antag, at vi måler elektronen til at have spin N i retningen 0°. Vi vil måle den igen efter en apparaturdrejning på 60°. Hvad er sandsynligheden for at vi får spin N i denne retning?

Figur Q3 viser, at den tilsvarende basis er givet ved:
([cos(30°),-sin(30°)]T,[sin(30°),cos(30°)]T)=([√3,-1]T/2,[1,√3]T/2).

Da elektronen blev målt til at have spin N i retningen 0°, var dens tilstandsvektor efter den første måling givet ved [1,0]T. Sandsynlighedsamplituden for overgangen er givet ved skalarproduktet
[1,0][√3,-1]T/2=√3/2.
Sandsynligheden for at måle spin N i retningen 60° er P(N) = (√3/2)² = 3/4.