Kryptografi med strøm af Qubits

En Qubit er en 2-dimensional enhedsvektor i et plan. Den kan altid skrives som en linearkombination af et ordnet par af ortogonale enhedsvektorer: En Qubit kan altid skrives som en linearkombination af et ordnet par af ortogonale Qubits. Dette er en standardegenskab ved et 2-dimensionalt vektorrum. Det eneste usædvanlige er at kalde en enhedsvektor en Qubit!

Men den fysiske fortolkning af denne matematiske model er ganske overraskende. Enhver fysisk måling af en Qubit er repræsenteret ved et ordnet par af ortogonale Qubits, som er bestemt af måleapparaturets orientering i planet. Selve målingen medfører, at den oprindelige Qubit foretager et kvantespring til enten den første eller den anden Qubit i det ordnede par. Den nye Qubit forbliver uændret ved gentagne målinger med samme orientering af apparaturet. Dette er kvantefysik i en nøddeskal. Sandsynligheden for et kvantespring er givet ved kvadratet på skalarproduktet mellem enhedsvektoren før og efter springet.

Gentagne målinger med det samme apparatur medfører altså en veldefineret qubit, som kan være den første eller den anden qubit i et ordnet par. Dette gør det muligt at definere den klassiske bit “0” for den første qubit og den klassiske bit “1” for den ande qubit i et ordnet par. De klassiske bit “0” og bit “1” fremkommer altså ved en måling af en qubit i en bestemt retning. En ny måling efter en rotation af måleapparatet vil medføre, at enhver eksisterende qubit foretager et kvantespring til den første eller den anden qubit i et nyt ordnet par af ortogonale qubits. Det nye pars retning er bestemt af  apparaturets rotationsvinkel. Det er specielt interessant at anvende målinger med to ordnede par af qubits, som er roterede med 90° i forhold til hinanden. Man kalder også et sådant ordnet par for en basis for målingen.

Det ordnede par af ortogonale qubits svarende til en måling i den vertikale retning er givet ved:
V = ([1,0]T,[0,1]T)

Det ordnede par af ortogonale qubits svarende til en måling i den horisontale retning er givet ved:
H = ([1,-1]T/√2,[1,1]T/√2)

Sandsynligheden for et kvantespring fra den første qubit i basen V til den første qubit i basen H er givet ved kvadratet på skalarproduktet:
([1,0][1,-1]T/√2)² = (1×1-1×0)²/2 = 1/2

Det samme resultat gælder for alle 4 kvantespring mellem de 2 qubits i basen V og de 2 qubits i basen H. Skalarproduktets symmetri med hensyn til ombytning af vektorerne betyder, at det samme resultat gælder for kvantespring fra qubits i basen H til qubits i basen V.

Alice, Bob og Eve

Alice, Bob og Eve er tre personer, som ofte forekommer i den kryptografiske litteratur. Alice ønsker at sende en fortrolig besked til Bob; men Eve ønsker at aflytte (aflytte = eavesdrop på engelsk) beskeden med onde hensigter. Hvordan kan Alice kryptere beskeden, så Bob kan læse beskeden, uden at Eve er i stand til at afkode den? Dette er kryptografiens centrale spørgsmål. Standardmetoden for kryptering og dekryptering anvender to trin. Det første trin sker ved den første kontakt, hvor de to parter bliver enige om en krypteringsnøgle – en lang streng af binære cifre. Når de begge er i besiddelse af den samme nøgle, anvendes den til både at kryptere og dekryptere beskeder fra den ene til den anden. Metodens sikkerhed står og falder med den sikre udveksling af nøglen.

Charles Bennett og Gilles Brassard opfandt i 1984 en protokol (BB84) til sikker udveksling af en krypteringsnøgle ved anvendelse af en streng af uafhængige qubits. Alice vælger en nøgle, som hun ønsker at sende til Bob. Nøglen består af en streng af klassiske bits. Alice vælger for hver bit tilfældigt en af de to baser V og H med lige stor sandsynlighed. Hun sender dernæst den tilsvarende qubit. Antag, at hun er kommet til bit “0”: Hvis hun vælger basen V, må hun sende [1,0]T; hvis hun derimod vælger basen H, må hun sende [1,-1]T/√2. Hun følger den samme procedure for hver bit, idet hun opretholder en optegnelse over, hvilken af de to baser, der blev brugt til hver bit.

Bob måler ligeledes de modtagne qubits i en helt tilfældig rækkefølge af de samme baser V og H med lige stor sandsynlighed. Resultatet er en rækkefølge af målte klassiske bits med de tilhørende V eller H baser. Bob opretholder også en optegnelse over, hvilke af de to baser, der blev brugt til hver bit.

Alice og Bob udveksler til slut de to optegnelser over en ukrypteret forbindelse. Kun bitværdier målt med de samme baser i de to optegnelser vil være korrekte. Alice og Bob bliver enige om, at fjerne alle bits målt med forskellige baser. Hvad er egentlig fidusen ved denne metode? Udvekslingen er sket over en ukrypteret forbindelse, som kan aflyttes af enhver. Halvdelen af den hemmelige nøgle er desuden forsvundet, da ca. halvdelen af alle qubits blev målt med forskellige baser hos Alice og Bob. Det er imidlertid ikke uhørt, at bit forsvinder på grund af støj på en transmission. Løsningen er at gentage hver bit flere gange. Det største problem er imidlertid, at Eve også meget let kan aflytte forbindelsen. Hvordan kan Alice og Bob sikre sig mod, at Eve er med på en lytter?

Eve er meget opsat på at opsnappe qubits på vej fra Alice til Bob for om muligt at lave en kopi af hver qubit for at sende den ene videre til Bob og måle den anden med de samme baser. Dette er heldigvis en umulighed på grund af et kvantemekanisk no cloning teorem. Eves eneste mulighed er at følge Bobs eksempel ved måle de modtagne qubits i en helt tilfældig rækkefølge med de samme baser V og H og videresende de målte qubits til Bob. Eve opretholder sin egen hemmelige optegnelse over, hvilke af de to baser, som blev brugt ved måling af hver bit. Eve kan nu sammenligne sin optegnelse med Alice og Bobs fælles offentlige liste over sikre bits. Eve har imidlertid kun målt halvdelen af disse bits med de samme baser som Alice og Bob. Eve kan kun aflytte nøglen, hvis Alice og Bob er så venlige at gentage alle bit i nøglen mindst 4 gange.

Men alt er ikke tabt for Alice og Bob. De kan meget let opdage, at kun halvdelen af de sikre bits i den fælles liste faktisk er ens. Dette er et sikkert tegn på, at udvekslingen af qubits er blevet aflyttet. De skal nu straks stoppe ethvert forsøg på an anvende nøglen.

Anvendelsesmulighederne for enkelte uafhængige qubits er meget begrænsede. Man har brug for et såkaldt entanglement af to vekselvirkende qubits. Fænomenet blev opdaget af Schrödinger som et argument for Einsteins og mod Bohrs fortolkning af den kvantemekaniske måling (fortolkningen skyldes egentlig Max Born). Schrödinger’s cat var et andet kendt argument mod Bohrs fortolkning.

Have physicists found a way to save Schrödinger’s cat?

By David Shultz |

In Schrödinger’s classic thought experiment, the life of a cat in a closed box hangs on the outcome of a quantum reaction in which a piece of radioactive material either does or does not decay to trigger the release of a poison. The catch, of course, is that until the box is opened and the experiment is observed, the cat remains in a state of limbo where it is both dead and alive simultaneously. However, in a new study in Nature, researchers used a supercooled electrical circuit to model an atom with multiple energy levels to show that the life-or-death quantum jump is not quite instantaneous after all; it even comes with warning signs that occur slightly ahead of the jump, allowing the researchers to reverse the process. Good news for Schrödinger’s cat, no doubt, but also for physicists working on quantum computers in which unintended quantum state changes can result in errors, The Guardian reports.