Entanglement af to qubits

En qubit er en 2-dimensional enhedsvektor i et plan. Den illustreres ved en pil på et stykke ternet papir (eller på en computerskærm med pixels). Pilens retning og længde er bestemt af to reelle tal, hvorfor vektorrummet betegnes som ℜ². Enhver vektor kan skaleres med et reelt tal. Summen af de to vektorer v og w betegnes som v + w, hvor den binære operator + er kommutativ, dvs v+w=w+v. En ombytning af vektorerne har ingen betydning for resultatet. Findes en tilsvarende binær operator for multiplikation af de to vektorer? Ja, multiplikation af v med w kaldes vw; men den binære operator ⊗ er ikke kommutativ, så vwwv. Der findes en første (v) og anden (w) vektor i produktet vw.

Tensorproduktet af to vektorer

Tensorproduktet, defineret som T = vw, er en bilineær operator med følgende egenskaber:
(uv)T = (vu)
(v+w)⊗u = vu+wu
u⊗(v+w) = uv+uw
c(vu)=(cv)⊗u=v⊗(cu)

Dette er regnereglerne for den binære operator × for multiplikation af normale reelle tal, hvis man ser bort fra den første egenskab. Her gælder, at multiplikation er kommutativ, så u×v=v×u.

Enhedsvektorerne for ℜ² kaldes sædvanligvis e1 og e2. De to vektorer v og w kan derfor skrives som:
v = v1e1+v2e2
w = w1e1+w2e2

Beregningen af vw findes ved at anvende de sædvanlige regneregler for den binære operator ×:
(v1e1+v2e2)⊗(w1e1+w2e2)=(v1w1)e1e1+(v1w2)e1e2+(v2w1)e2e1+(v2w2)e2e2

Bemærk: v1w2 = v2w1, men e1e2e2e1. Dette betyder, at tensorproduktet kan skrives som en linearkombination af 4 forskellige basisvektorer. vw befinder sig altså i vektorrummet ℜ4. Jeg vender nu tilbage til Alice og Bob. Alice foretager målinger af en qubit med sin egen ordnede ortonormale basis (|a0>,|a1>). Bob foretager på samme måde målinger af en qubit med sin egen ordnede basis (|b0>,|b1>). Vi kan nu teldele Alice den første plads i et tensorprodukt, da dette ikke er kommutativt. Jeg viste ovenfor, at et tensorprodukt generelt kan skrives som en linearkombination af en ordnet ortonormal basis givet ved (|a0>⊗|b0>,|a0>⊗|b1>,|a1>⊗|b0>,|a1⊗|b1>). Denne ordnede ortonormale basis er fælles for Alice og Bob. Jeg vil herefter droppe ⊗ på samme måde, som man gør med × for reelle tal.
Ethvert tensorprodukt kan derfor udtrykkes som:
|v>|w> = r|a0>|b0> + s|a0>|b1> + t|a1>|b0> + u|a1|b1>

Alice og Bob udfører uafhængige målinger

Afsnittet om tensorproduktet for vektorrummet ℜ²⊗ℜ² viste, at dette er et 4-dimensionalt vektorrum med en ordnet ortonormal basis, som er fælles for Alice og Bob. Alice skriver i tilfældet af uafhængige målinger sin qubit som linearkombinationen |v>=v0|a0>+v1|a1>. Bob skriver på tilsvarende måde sin qubit som linearkombinationen |w>=w0|b0>+w1|b1>.
Tensorproduktet af de to qubits er derfor givet ved
|v>|w> = (v0|a0> + v1|a1>)⊗(w0|b0> + w1|b1>) =
(v0w0)a0>|b0> + (v0w1)|a0>|b1> + (v1w0)|a1>|b0> + (v1w1)|a1|b1> =
r|a0>|b0> + s|a0>|b1> + t|a1>|b0> + u|a1|b1>, hvorfor
r = v0w0, s = v0w1, t = v1w0, u = v1w1.

At en qubit er en enhedsvektor medfører: v0² + v1² = 1 og w0² + w1² = 1.
At |v>|w> er en enhedsvektor medfører: r² + s² + t² + u² = 1.

Sandsynligheden for at Alice måler i er Pa(i).
Sandsynligheden for at Bob måler i er Pb(i).
Sandsynligheden for at Alice og Bob måle ij er Pab(ij).

Der er 4 tilfælde:
(1) Pab(00) = r² = (v0w0)² = v0²w0² = Pa(0)Pb(0)
(2) Pab(01) = s² = (v0w1)² = v0²w1² = Pa(0)Pb(1)
(3) Pab(10) = t² = (v1w0)² = v1²w0² = Pa(1)Pb(0)
(4) Pab(11) = u² = (v1w1)² = v1²w1² = Pa(1)Pb(1)

Vi ved desuden, at summen af sandsynligheder skal være 1:
Pa(0) + Pa(1) = 1
Pb(0) + Pb(1) = 1
Pab(00) + Pab(01) + Pab(10) + Pab(11) = 1

Hvad er status efter denne formelgymnastik? Jeg har indført et tensorprodukt |v>|w>, som tillader at reservere den første position til Alice og den anden til Bob. Jeg har vist, at sandsynligheden for at måle et bitpar for et tilsvarende par qubits er lig med produktet af sandsynligheder for at måle de individuelle bits. Dette er et klar tegn på, at målingerne er uafhængige. Dette er absolut ikke overraskende, da jeg antog, at Alice og Bob foretog uafhængige målinger. Hvad er det nye? Jeg viste, at et tensorprodukt kan skrives som en linearkombination af fire ordnede, ortonormale basisvektorer med de tilhørende sandsynlighedsamplituder: r, s, t, u. Hvor er den sagnomspundne entanglement blevet af? Hvad er betydningen af entanglemet ud fra et fysisksynspunkt? Man må huske, at en kvantemekanisk måling er et kvantespring fra én qubit til en anden (normalt forskellig) qubit. Det er et envejsspring. Der er tiden før og tiden efter springet. Man kan spørge: Påvirker en måling udført af Alice udfaldet af en senere måling udført af Bob? Man siger, at to qubits er sammenfiltrede eller entangled, hvis målingen udført af Alice påvirker udfaldet af Bobs måling.

Det omtalte tensorprodukt kan altså skrives som:
|v>|w> = r|a0>|b0> + s|a0>|b1> + t|a1>|b0> + u|a1|b1>

For at Alice skal kunne foretage sine målinger først, må hendes basisvektorer (|a0>,|a1>) faktoriseres, så udtrykket bliver en linearkombination af to produkter. Dette gøres på følgende måde:
|v>|w> =
√(r²+s²)|a0>(r|b0> + s|b1>)/√(r²+s²) +
√(t²+u²)|a1>(t|b0> + u|b1>)/√(t²+u²)

Formlen er den samme som ovenfor, men faktoriseringen er ændret, så Alice først kan måle med sine basisvektorer (|a0>,|a1>), hvorefter Bob fortsætter med at måle to forskellige linearkombinationer af sine basisvektorer (|b0>,|b1>), som hver svarer til et forskelligt udfald af Alices målinger. Sandsynlighederne beregnes ud fra kvadraterne på koefficienterne til basisvektorerne. Jeg anvender ⇒ til at angive et tidsligt forløb:
Pa(0) = (r²+s²) ⇒ Pb(0) = r²/(r²+s²), Pb(1) = s²/(r²+s²)
Pa(1) = (t²+u²) ⇒ Pb(0) = t²/(t²+u²), Pb(1) = u²/(t²+u²)

Det kan være vanskeligt at afgøre, om der er tale om entanglement. Dette ses lettest, hvis man vælger et eksempel, hvor u = 0. Man måler i dette tilfælde sandsynlighederne:
Pa(0) = (r²+s²) ⇒ Pb(0) = r²/(r²+s²), Pb(1) = s²/(r²+s²)
Pa(1) = t² ⇒ Pb(0) = 1, Pb(1) = 0

Hvis Alice måler bit-1, må Bob nødvendigvis måle bit-0 med 100% sikkerhed. Dette er entanglement i en nøddeskal. Jeg vil stoppe denne introduktion af entanglement for at fortsætte i en anden blog.