John Stewart Bells ulighed

Der herskede en filosofisk strid mellem Albert Einstein og Niels Bohr om den rette fortolkning af den kvantemekaniske måling. Bohr postulerer, at der til enhver måling af en qubit svarer en basis bestående af to ortogonale enhedsvektorer (qubits). Selve målingen medfører et kvantespring af den målte qubit til én af de to ortogonale enhedsvektorer. Den første enhedsvektor svarer til den klassiske bit-0, den anden til den klassiske bit-1. Einstein gik ind for lokal realisme, som antager, at en partikels tilstand kun kan afhænge af andre lokale partiklers tilstande. Einstein hævdede, at kvantespringet afhænger af nogle ukendte skjulte variable.

Striden startede omkring 1925 og varede mange år frem. Schrödinger fandt på et genialt tankeeksperiment til støtte for Einsteins synspunkt. Han foreslog, at to personer, Alice og Bob, skulle foretage fælles målinger med de samme basisvektorer af en blandingstilstand af to qubits:
T = (|a0>⊗|b0> + |a1>⊗|b1>)/√2

Der er et par mærkværdigheder: Hvorfor anvendes der to forskellige betegnelser for den samme basis: (|a0>,|a1>) og (|b0>,|b1>)? Hvad er det for et mærkeligt gangetegn: ⊗? De to ting hænger sammen. ⊗ angiver en speciel multiplikation, som ikke tillader en ombytning af de to sider. Dette tillader os at tildele den venstre side til Alice og den højre til Bob. Dette er grunden til, at de to baser får tildelt forskellige navne.

Når Alice og Bob måler tilstanden T, får de enten begge bitkombinationen 00 eller begge bitkombinationen 11. Deres fælles målinger er totalt sammenfiltrede. Korrelationen mellem deres målinger er 100%.

Der er intet krav til afstanden mellem Alice og Bob. Alice kan være nær Jorden og Bob nær Alpha Cen. Hvordan kan Einsteins krav om lokal realisme være overholdt? Alices måling medfører, at Bobs måling straks er kendt. Einsteins specielle relativitetsteori kræver, at ingen information kan bevæge sig hurtigere end lyset. Men Alice og Bob har ingen mulighed for at afgøre, hvem der måler først. Teorien forudsiger kun, at de to parters målinger er korrelerede. Den forudsiger ikke årsag og virkning mellem de to parters målinger. Der er ikke tale om udveksling af information. De to qubits har derimod vekselvirket, da de befandt sig på næsten samme sted til samme tid. De postulerede skjulte variable har haft mulighed for at fungere under denne korte vekselvirkning.  Sagen er langt fra afklaret med Schrödingers tankeeksperiment.

Bells ulig er baseret på 3 tilfældige målinger af et sammenfiltrede qubitpar med 3 ortonormales baser med retningsvinklerne:
θ = (0°, 120°, -120°) = (0, 2π/3, -2π/3) = (a, b, c).
En ordnet ortonormal basis svarente til retningsvinklen θ er givet ved:
([cos(θ/2), -sin(θ/2)]’, [sin(θ/2), cos(θ/2)]’).
De 3 (a, b, c) er altså givet ved:
a = ([1,0]’,[0,1]’)
b = ([cos(π/3),-sin(π/3)]’,[sin(π/3),cos(π/3)]’) = ([1,-√3]’/2,[√3,1]’/2)
c = ([cos(π/3),sin(π/3)]’,[-sin(π/3),cos(π/3)]’) = ([1,√3]’/2,[-√3,1]’/2)

De 3 baser kan også angives ved ket-vektorer, hvis man husker, at den anden vektor i et basispar peger i modsat retning af den første vektor:
a = (|0>,|π>)
b = (|π/3>,|-π/6>)
c = (|-π/3>,|π/6>)

En måling i hver af retningerne (a, b, c) resulterer i enten et 0 eller et 1. Dette giver os 8 konfigurationer: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, hvor første ciffer til venstre giver os svaret, hvis vi måler med basen a, det midterste ciffer giver os svaret, hvis vi måler med basen b, og det sidste ciffer giver sos svaret, hvis vi måler med basen c.

Vi frembringer nu en strøm af qubit-par, som vi sender sender til Alice og Bob. Hvert par befinder sig i en entangled tilstand for basis a:
T = (|0>|0> + |π>||π>)/2
Sandsynligheden for et spring mellem 2 qubits er givet ved skalarproduktet mellem de to qubits. Det har derfor betydning at finde alle skalarprodukter mellem vektorer i a og alle vektorer i b og c (overgange mellem vektorer internt i a er undersøgt):
<0|π/3> = [1,0][1,-√3]’/2 = 1/2
<0|-π/6> = [1,0][√3,1]’/2 = √3/2
<0|-π/3> = [1,0][1,√3]’/2 = 1/2
<0|π/6> = [1,0][-√3,1]’/2 = -√3/2
<π|π/3> = [0,1][1,-√3]’/2 = -√3/2
<π|-π/6> = [0,1][√3,1]’/2 = 1/2
<π|-π/3> = [0,1][1,√3]’/2 = √3/2
<π|π/6> = [0,1][-√3,1]’/2 = 1/2

Alice vælger tilfældigt en af de 3 retninger (a,b,c) med sandsynligheden 1/3 uden at nedskrive retningen, men hun nedskriver 0 eller 1 alt efter, om springet sker til den første eller den anden vektor i den valgte basis. Bob udfører kort tid efter den samme procedure, idet han også nedskriver enten 0 eller 1. Alice og Bob nedskriver en lang liste med 0er og 1er. De sammenligner den lange liste af bits. De nedskriver bogstavet A, hvis de er enige om de to bits, ellers nedskrives bogstavet D. Hvor stor en brøkdel af bogstaverne udgøres af A? Bell indså, at den kvantemekaniske model og den klassiske model gav forskellige tal for dette svar.

Det kvantemekaniske svar

Jeg har tidligere fundet, at Alice og Bob får det samme resultat, hvis de begge foretager målingen i samme retning. Hvad sker der, hvis de vælger forskellige baser? Jeg vil undersøge tilfældet, hvor Alice vælger b og Bob vælger c. Begge parter modtager tilstanden
(|0>|0>+|π>|π>)/2, som måles af Alice i basen (|π/3>|π/3>+|-pi;/6>|-π/6>)/2. En måling får den oprindelige tilstand til springe til enten |π/3>|π/3> eller |-pi;/6>|-π/6> med lige stor sandsynlighed. Hun vil nedskrive 0, hvis den springer til |π/3>|π/3>. Hun nedskriver 1, hvis den springer til |-pi;/6>|-π/6>.

Bob må nu udføre sin måling. Antag, at Alice målte tilstanden |π/3>|π/3>, så Bobs qubit (den anden i produktet) er i tilstanden |π/3>, der kan udtrykkes som en linearkombination af Bobs basisvektorer (|-π/3>,|π/6>). Vi finder faktorerne ved at gange |π/3> med en matrix udtrykt som en søjle af Bobs basis udtrykt som bra-vektorer:
M|π/3> = [<-π/3|,<π/6|]’|π/3> = [<-π/3|π/3>,<π/6|π/3>]’ =
[[1, √3][1, -√3]’/4, [-√3, 1][1, -√3]’/4] = [-1/2, -√3/2]’.

Bob vil måle 0 med sandsynligheden (-1/2)² = 1/4 og 1 med sandsynligheden (-√3/2)² = 3/4. Hvis Alice måler 0, vil Bob også måle 0 med sandsynligheden 1/4. Man kan på tilsvarende måde vise, at Bob også vil måle 1 med sandsynligheden 1/4, hvis Alice først har målt 1.

De andre tilfælde er tilsvarende: Hvis Alice og Bob måler i forskellige retninger, vil de få samme resultat i 1/4 af tilfældene og forskellige resultater i 3/4 af tilfældene.

De måler i samme retning 1/3 af tilfældene og de måler det samme hver gang. De måler i forskellige retninger i 2/3 af tilfældene og og får det samme resultat i 1/4 af tilfældene. Den samlede sandsynlighed for at få A:
(1/3)×1 + (2/3)×(1/4) = 1/2.

Det klassiske svar

Striden mellem Einstein og Bohr omhandlede i virkeligheden elektronens bølgenatur. Elektronens spin kom først til senere. Luis de Broglie havde i 1924 foreslået, at elektroner udbreder sig som bølger. Dette blev eksperimentelt påvist i 1927. Elektronen bevæger sig langs flere baner mellem punkterne P og Q. Sandsynlighedsamplituderne for de mange baner interfererer i Q. Kvadratet på den samlede amplitude er sandsynligheden for at finde elektronen i Q. Einstein mente, at elektronens mange baner måtte skyldes nogle ukendte variable. Bohr mente, at naturen kun tillader os at forudsige en sandsynlighedsamplitude. De fleste mente, at det var en filosofisk strid, som ikke kunne afgøres ved noget eksperiment.

Den filosofiske strid flyttede sig med årene fra elektronens bane til dens spin. Både kvantemekanisk teori og målinger viser, at elektronens spin kun kan måles for én bestemt retning, samt at der kun findes 2 lige sandsynlige spintilstande. Disse 2 spintilstande er grundlaget for de klassiske bit, der fremkommer ved måling af en kvantebit eller qubit. Spørgsmålet om den mulige eksistens af skjulte variable har betydning for, om man overhovedet kan konstruere en kvantecomputer.

Den irske fysiker John Stewart Bell var overbevist om, at Einsteins argumenter var korrekte. Han offentliggjorte i 1964 en ulighed baseret på en kombination af de veldokumenterede lige store spinsandsynligheder og klassisk statistik. De kvantemekaniske beregninger fra forrige afsnit opfylder ikke Bells ulighed. Man kan alligevel afgøre et filosofisk spørgsmål ved et eksperiment.

Det klassiske synspunkt er, at målinger i alle retninger er bestemt helt fra begyndelsen. Der er som allerede nævnt 3 retninger. En måling i hver retning kan give enten et 0 eller et 1. Dette giver os 8 konfigurationer:000, 001, 010, 011,100, 101, 110, 111, hvor det første ciffer er svaret, hvis vi måler med basis a, det midterste ciffer er svaret, hvis vi måler med basis b, og det sidste ciffer er svaret, hvis vi måler med basis c.

Entanglement betyder blot, at konfigurationerne for Alices og Bobs qubits er identiske — hvis Alices qubit har konfiguration 001, så har Bobs det også. Vi må nu finde ud af, hvad der sker, når Alice og Bob hver vælger en retning. For eksempel, hvis deres elektroner er i konfiguration 001, og Alice måler i basis a, og Bob måler i basis c, så vil Alice måle 0, og Bob vil måle 1. De er uenige om resultatet.

Tabellen nedenfor angiver alle mulighederne. Den venstre søjle angiver de 8 konfigurationer. Den øverste række giver mulighederne for Alice og Bobs målebaser.  Vi angiver Alices basis først efterfulgt af Bobs. (b,c) betyder, at Alice vælger basis b og Bob vælger basis c. Indgangene i tabellen viser, om målingerne stemmer A(gree) eller ej D(isagree).

Konfiguration versus måleretning

Vi ved ikke, hvilke sandsynligheder vi skal tildele de enkelte konfigurationer. Der er 8 mulige konfigurationer, så det forekommer plausibelt, at de hver forekommer med sandsynligheden 1/8, men de er muligvis ikke alle ens. Den matematiske analyse vil ikke antage bestemte værdier for disse sandsynligheder. Vi kan imidlertid tildele de målte retninger bestemte sandsynligheder. Både Bob og Alice vælger deres 3 baser med samme sandsynlighed, så hver af de 9 mulige basepar forekommer med sandsynligheden 1/9.

Bemærk: Hver række indeholder mindst 5 A’er, så et givet qubit-par med en hvilket som helst konfiguration har mindst sandsynligheden 5/9 for at få et A. Da sandsynligheden for at få et A er mindst 5/9 for hver af spin-konfigurationerne, kan vi udlede, at den overordnede sandsynlighed må være mindst 5/9, uafhængigt af den relative forekomst af de enkelte konfigurationer.

Dette er Bells ulighed. Kvantemekanikken fortæller os, at Alice og Bob er enige om resultatet nøjagtigt halvdelen af gangene. Den klassiske model fortæller os, at Alice og Bob vil være enige i mindst 5 ud af 9 gange.

Det er imidlertid en delikat sag at udføre testen i praksis. John Clauser og Stuart Freedman udførte den første gang i 1972. Den viste, at den kvantemekaniske forudsigelse er korrekt. Eksperimentet er siden blevet gentaget i stadig forbedrede versioner. Der er meget lidt tvivl om, at den klassiske model er forkert.

At en måling automatisk medfører et kvantespring fra en qubit til en anden, helt uden for den kvantemekaniske tidsudvikling, er ganske uforståelig. Kvantespringet forudsiges generelt i form af en complex sandsynlighedsamplitude, hvis normkvadrat er sandsynligheden for springet. Hvorfor forekommer springet kun, når man observerer kvantetilstanden? Universet udvikler sig jo fint, uden at jeg behøver at observere det. Min egen favoritfortolkning er, at kvantemekanik er en teori for udviklingen af informationen om et mikroskopisk system. En kvantetilstand repræsenterer ikke selve det fysiske system, men derimod vores maksimale information om systemet. En måling medfører en indsnævring af vores uvidenhed om systemet. Det er derfor logisk, at kvantetilstanden må ændres efter en måling, som har forøget informationen om systemet. En kvantecomputer er IT for et mikroskopisk system.