Supertæt kodning

Dette er dog en besynderlig overskrift? Man kan fristes til at kalde den “kryptisk”. Jeg vender i denne Blog tilbage til Alice og Bob, som udveksler kvantetilstande, der omtales som qubits. Det drejer sig i dette afsnit om spintilstande for elektroner. Alice og Bob anvender den samme instrumentering til frembringelse (skrivning) og måling (læsning) af uafhængige spintilstande (qubits). Én qubit kan netop overføre en klassisk bit. Overførsel af 2 klassiske bits kræver derfor 2 uafhængige qubits. En kvantetilstand bestående af et tensorprodukt af 2 uafhængige qubits |0> og |0> angives som |00> ≡ |0>⊗|0>, hvor den første |0> altid tilhører Alice, og den anden |0> altid tilhører Bob.

Einstein var en stor modstander af Bohrs fortolkning af den kvantemekaniske måling. Einstein havde brugt hele sit liv på at afskaffe newtons tyngdekraft, som virker øjeblikkeligt over enorme afstande. Enhver fysisk teori bør være lokal. Schrödinger kom Einstein til hjælp ved at indføre det besynderlige fænomen entanglement som et argument for skjulte variable.

Jeg viste i en tidlige Blog, hvordan Bell-kredsløbet B kan transformere et par uafhængige qubits |00> til en tilstand af Schrödingers entanglement:
B(|00>) = (|00>+|11>)/√2.
Husk: Den første spintilstand tilhører Alice, den anden tilhører Bob.

Alice får den første elektron og Bob får den anden. De rejser nu langt bort fra hinanden, idet de sørger for at bevare de to elektroners kvantetilstande. Dette er lettere sagt en gjort i den fysiske verden, men der er tale om et tankeeksperiment. Dette er helt i stil med tvillingeparadokset i Einsteins specielle relativitetsteori. Supertæt kodning går ud på at finde en metode til at kombinere informationen i det sammenfiltrede elektronpar, så Alice kan sende Bob 2 klassiske bits, uden at Alice og Bob behøver at mødes igen. Problemet er løst, hvis Bob kan anvende det inverse Bell-kredsløb til at frembringe det oprindelige par af uafhængige qubits. Dette kræver uheldigvis at Bob ved, hvilke af de 4 mulige Bell-entanglements, der er tale om, og det ved Bob ikke. Kan Alice mon klare dette ved anvendelse af nogle kvante-gates? Ja, hun kan anvende de 4 Pauli gates.

De 4 Pauli gates er defineret ved de 4 2×2 matricer:
I ≡ [[1,0]’,[0,1]’]
Z ≡ [[1,0]’,[0,-1]’]
X ≡ [[0,1]’,[1,0]’]
Y ≡ [[0,-1]’,[1,0]’]
Tegnet “‘” betyder transponering, som laver en rækkevektor om til en søjlevektor.
I, Z og X er symmetriske omkring diagonalen.
De er derfor deres egne inverse matricer, hvorfor der gælder:
I I = I
Z Z = I
X X = I
Y er derimod ikke symmetrisk; den er ikke sin egen inverse matrix.

Hvis Alice sender sin elektron gennem et Pauli gate, vil den ændre spintilstand (hvis vi ser bort fra I, som lader den uændret). Bobs elektron påvirkes ikke på nogen måde.
Jeg vil nu se på, hvordan Z, X og Y påvirker en vilkårlig qubit:
Z(a0|0> + a1|1>) = a0|0> – a1|1>, (a0 og a1 får modsat fortegn)
X(a0|0> + a1|1>) = a1|0> + a0|1>, (a0 og a1 bytter plads)
Y(a0|0> + a1|1>) = a1|0> – a0|1>, (a0 og a1 bytter plads,
og får modsat fortegn)

Nu er Alice’s elektron ikke en hvilket som helst qubit i den sammenfiltrede Bell-tilstand. Der gælder, at a0=1/√2 og a1=±1/√2.

Alice gør intet, hvis hun ønsker at sende 00: B(00) = (|00>+|11>)/√2.
Alice anvender X, som ombytter hendes |0> og |1>, hvis hun ønsker at sende 01. Den nye Bell-tilstand bliver: B(01) = (|10>+|01>)/√2.
Alice anvender Z, som skifter fortegn for |1>, hvis hun ønsker at sende 10. Den nye Bell-tilstand bliver: B(10) = (|00>-|11>)/√2.
Alice anvender Y, som ombytter |0> og |1>, og skifter fortegn for |1>, hvis hun ønsker at sende 11. Den nye Bell-tilstand bliver: B(11) =(|01>-|10>)/√2.

Det inverse Bell-kredsløb vil automatisk transformere Bell-tilstandene tilbage til én af de 4 uafhængige basistilstande: |00>, |01>, |10> og |11>.

Bob vil derfor være i stand til at måle spintilstandene for begge elektroner. Resultatet er 2 klassiske bitværdier.