Kvante-teleportering

Alice og Bob befinder sig langt fra hinanden som i min tidligere Blog om supertæt kodning. De besidder hver én elektron. Disse to elektroner er fælles om tilstanden (|00>+|11>)/√2, som udtrykker entanglement. Alice er desuden i besiddelse af en anden elektron i den ukendte kvantetilstand a|0>+b|1>. Alice har ingen idé om sandsynligheds-amplitudernes værdier, men hun og Bob ønsker at ændre Bobs elektron, så den får tilstanden a|0>+b|1>. De ønsker, at teleportere tilstanden fra Alices elektron til Bobs elektron. Dette kræver kun, som vi skal se, at Alice sender Bob to klassiske bit, selvom en elektrons tilstand kun er begrænset af betingelsen: a²+b² = 1.  Det er imponerende, at vi kan sende en tilstand med et kontinuum af muligheder ved kun at overføre to klassiske bit. Alice starter med en ukendt qubit, som overføres til Bob uden at nogen af parterne kender dens tilstand.

Her følger en opsummering af nogle vigtige gates og kredsløb:
Hadamards gate, som virker på én qubit, er defineret ved
H(|0>) = (|0>+|1>)/√2 og H(|1>) = (|0>-|1>)/√2.
Et CNOT-gate, som virker på to qubits, er defineret ved
CNOT(|x>|y>) = |x>|x⊕y>, hvor x⊕y ≡ x+y mod 2.

To eller flere gates efter hverandre kaldes et kredsløb.
Bells kredsløb, som virker på to qubits, er defineret ved
B(|x>|y>) = CNOT(H(|x>)|y>).
Den første qubit sendes gennem et hadamard-gate, hvorefter den sendes videre til den første indgang på et CNOT-gate. Den anden qubit sendes til den anden indgang på det samme CNOT-gate.
Hadamards matrix er defineret ved H ≡ [[1,1]’,[1,-1]’]/√2. Den opfylder betingelsen H = H’, hvorfor den er sin egen inverse matrix. Den er derfor ortogonal, så Hadamards gate er reversibel. CNOT permuterer qubits, hvorfor den også er ortogonal og reversibel. Bell-kredsløbet er derfor et reversibelt kredsløb.

Det inverse Bell-kredsløb, som virker på to qubits, er defineret ved
B-1(|x>|y>) = H(|x>)|x⊕y>, hvor x⊕y ≡ x+y mod 2.

Bell-kredsløbets virkning på de 4 mulige qubit-par er som følger:
B(|00>) = (|00>+|11>)/√2 og B-1(|00>) = (|00>+|10>)/√2
B(|01>) = (|01>+|10>)/√2  og B-1(|01>) =  (|01>+|11>)/√2
B(|10>) = (|00>-|11>)/√2  og B-1(|10>) =  (|01>-|11>)/√2
B(|11>) = (|01>-|10>)/√2  og  B-1(|11>) =  (|00>-|10>)/√2

Vi kan udlede nogle få ting om, hvordan metoden må fungere. Bob skal slutte med en elektron,  som befinder sig i tilstanden (a|0>+b|1>).  Bob og Alice begynder med hver at besidde en elektron fra den sammenfiltrede tilstand (|00>+|11>)/√2. For at afvikle denne korrelation mellem de to elektroner, må en eller anden udføre en måling. Det kan ikke være Bob, idet han ved en måling vil ende med enten |0> eller |1>. Det må derfor være Alice, som udfører en måling. Den tredje elektron må på en eller anden måde involveres. Alice må gøre noget for at sammenfiltre den tredje elektron med hendes anden elektron, som er sammenfiltret med Bobs elektron. Alice kan anvende det inverse Bell-kredsløb på de 2 qubits, (a|0>+b|1>) og (|00>+|11>)/√2, som hun har kontrol over.

Tensorproduktet af de tre qubits er i begyndelsen givet ved
(a|0>+b|1>)⊗(|00>+|11>)/√2 =
a/√2|00>|0> +
b/√2|10>|0> +
a/√2|01>|1> +
b/√2|11>|1>

Alice anvender det inverse Bell-kredsløb, B-1, på de to første af de tre qubits i tensorproduktet. Summen antager herefter denne form:
(a/2)(|00>+|10>)|0> + (b/2)(|01>-|11>)|0> +
(a/2)(|01>+|11>)|1> + (b/2)(|00>-|10>)|1>

Jeg samler alle faktorer til de ordnede basisvektorer (|00>,|01>,|10>,|11>) for de to første qubits, som Alice har adgang til:
[|00>(a|0>+b|1>)+|01>(a|1>+b|0>)+|10>(a|0>-b|1>)+|11>(a|1>-b|0>)]/2.

Amplituderne a og b opfylder betingelsen, a²+b²=1, så sandsynligheden for at måle hver af de 4 basisvektorer er (1/2)²(a²+b²) = 1/4. Alice foretager nu en måling på det første qubit-par, idet hun noterer basisvektoren:
|00>(a|0>+b|1>)
|01>(a|1>+b|0>)
|10>(a|0>-b|1>)
|11>(a|1>-b|0>)

Alice sender herefter 2 klassiske bits, nemlig én af [00,01,10,11], så bob ved, hvilket tilfæld det drejer sig om. Kun ved bitkombinationen 00 vil Bobs elektron have det ønskede spin. Bob har heldigvis mulighed for at transformere elektronens spin til den ønskede tilstand i de 3 andre tilfælde.

Man må forstå, at Alices måling medfører, at Bobs elektron foretager et kvantespring til én af de 4 tilstande angivet ovenfor. Bob må for at opnå den oprindelige tilstand foretage en Pauli-transformation. Der findes 4 ortogonale Pauli-matricer:
I = [[1,0]’,[0,1]’]
Z = [[1,0]’,[0,-1]’]
X = [[0,1]’,[1,0]’]
Y = [[0,-1]’,[1,0]’]

Om disse Pauli-gates gælder:
I(a|0>+b|1>) = a|0>+b|1>
Z(a|0>-b|1>) = a|0>+b|1>
X(b|0>+a|1>) = a|0>+b|1>
Y(a|1>-b|0>) = a|0>+b|1>

Det er vigtigt at forstå, at Alices måling øjeblikkeligt får Bobs elektron til at springe fra et elektronpar med entanglement til én af 4 mulige spin-tilstande: a|0>+b|1>, a|1>+b|0>, a|0>-b|1>, a|1>-b|0>. Dette er et udtryk for, at kvantemekanik ikke er lokalt realistisk (beklager, Einstein). Bob kender først den aktuelle spin-tilstand, når han har modtaget et signal med de 2 klassiske bit. Bob kan herefter anvende den relevante Pauli-transformation. Signalet med de 2 bit kan ikke overskride lyshastigheden. Det er derfor klart, at ingen elektron flyttes fra Alice til Bob. Det er informationen om elektronens kvantetilstand, som flyttes med under lysets hastighed. Gennem målingen destruerer Alice sin elektrons kvantetilstand.

Teleportering anviser en metode til at transportere en qubit fra ét sted til et andet uden faktisk at transportere den materielle partiklen. Metoden anvendes på forskellige måder til at korrigere fejl. Dette er ekstremt vigtigt for kvanteberegninger.